Компактификация дополнительных измерений

Механизм компактификации в теориях с дополнительными измерениями

В теориях с дополнительными измерениями пространство-время рассматривается как многомерный многообразный объект, в котором, помимо четырёх наблюдаемых измерений (три пространственных и одно временное), существуют дополнительные измерения, недоступные прямому наблюдению. Для согласования таких теорий с наблюдаемым 4-мерным миром необходимо, чтобы дополнительные измерения были компактными, то есть свернутыми в малые масштабы.

Наиболее простая модель — компактификация по Калуце-Кляйну, где добавочное измерение замкнуто в окружность радиуса R. Тогда метрика пространства принимает вид:

ds² = g_μν(x)dx^μdx^ν + R²dy²,

где y ∈ [0, 2π) — координата дополнительного измерения. Поля, определённые в этом пространстве, раскладываются в ряд Фурье по y, что приводит к появлению бесконечного спектра массивных мод — так называемых мод Калуцы-Кляйна. Массы этих возбуждений квантованы:

$$ m_n^2 = m_0^2 + \left( \frac{n}{R} \right)^2, $$

где n ∈ ℤ — номер моды. Эти моды играют фундаментальную роль в предсказаниях моделей с дополнительными измерениями.

Компактификация в суперструнных теориях

В суперструнной теории для внутреннего пространства выбираются 6 дополнительных измерений, чтобы общее число составляло 10 — критическое число измерений для согласованности теории. Компактификация осуществляется на калаби-яу многообразии — шестимерном компактном пространстве со специальной голономией SU(3), что сохраняет ???? = 1 суперсимметрию в 4-мерном пространстве.

Многообразие Калаби–Яу характеризуется своими топологическими инвариантами — числом Бетти и числом Ходжа. Число мод деформаций комплексной структуры и метрики определяется этими числами:

• h^1, 1: число мод Кёлера (каэлеровских мод),
• h^2, 1: число мод комплексной структуры.

Эти моды появляются как безмассовые скаляры в 4D теории и влияют на феноменологию модели, особенно в контексте модулей и стабилизации вакуума.

Ориентационные и проективные орбифолды

Для достижения реалистичной спектроскопии часто применяется компактификация на орбифолдах — пространствах с сингулярностями, возникающими из идентификаций точек по конечной группе симметрии. Типичный пример — компактное пространство S¹/ℤ₂, где координата y ∼ −y. Это позволяет получать не только спектры с чётной/нечётной четностью, но и устранять нежелательные моды.

В таких моделях поля могут обладать определённой чётностью по отношению к орбифолдной симметрии. Это приводит к проекционному механизму: только поля с чётной чётностью сохраняются на нулевой моде и, следовательно, видны в 4-мерной теории. Это используется, в частности, в моделях с нарушением симметрии через геометрию пространства — так называемое нарушение симметрии через компактификацию.

Механизм Хосотани: нарушение симметрии через вакуумные конфигурации

Компактификация может играть роль не только в сокрытии измерений, но и в механизме нарушения калибровочной симметрии. В модели Хосотани калибровочные поля вдоль дополнительного измерения A₅ могут приобретать ненулевое среднее значение. При этом вакуумное значение ⟨A₅⟩ трансформируется как скаляр в 4D и действует как эффективный хиггсовский механизм. Этот механизм приводит к разложению группы симметрии без введения дополнительных скалярных полей.

Физические следствия: массы, спектр и наблюдаемые эффекты

Компактификация приводит к богатому спектру эффектов:

• Появление башни Калуцы-Кляйна: при энергии выше масштаба компактификации E ≫ 1/R наблюдаются возбуждённые моды, каждая из которых ведёт себя как новое массивное поле в 4-мерной теории.
• Усиление гравитации на малых расстояниях: в ADD-моделях с большими дополнительными измерениями гравитация на малых масштабах усиливается, поскольку её силовые линии распространяются в 4 + n измерениях.
• Объединение взаимодействий: в теориях типа RS (Рэндалл–Сандрум) компактное измерение с искривлённой метрикой типа:

ds² = e^−2k|y|η_μνdx^μdx^ν + dy²,

позволяет объяснить иерархию масштабов между Планковским и электрослабым. Масштаб взаимодействий зависит от положения на «брейне».

• Стабилизация модулей: параметры формы и объёма дополнительных измерений (модули) ведут себя как скалярные поля в 4D теории. Их динамика должна быть стабилизирована, чтобы избежать нежелательных космологических последствий. Это реализуется, например, за счёт потоков, потенциалов или некоммутативной геометрии.

Роль компактификации в феноменологии и космологии

Формы компактификации напрямую влияют на структуру низкоэнергетической эффективной теории:

• Определяют структуру суперпотенциала и калибровочных групп.
• Влияют на наличие или отсутствие аномалий.
• Могут приводить к появлению тёмных материй, стерильных нейтрино, долгоживущих частиц и других нестандартных феноменов.

Компактификация также играет ключевую роль в космологии:

• Влияние на инфляцию через динамику модулей.
• Эволюция радиуса дополнительных измерений может быть связана с фазовыми переходами в ранней Вселенной.
• Возможны космологические следствия от возбуждённых мод Калуцы–Кляйна.

Компактификация в контексте M-теории

В M-теории, расширяющей суперструнную теорию до 11 измерений, компактификация осуществляется, например, на 7-мерном многообразии с G₂-голономией. Это приводит к 4-мерной теории с минимальной суперсимметрией, в которой возможны реалистичные спектры частиц и механизмы нарушения симметрий.

Эти конструкции позволяют построить обширный класс моделей с богатой структурой: калибровочные группы, Yukawa-взаимодействия, конфайнмент и т.д., зависят от геометрии и топологии пространства компактификации.

Компактификация и дуальности

В теоретико-струнной физике различные способы компактификации приводят к теориям, связанным дуальностями. Например:

• Компактификация типа IIA и гетеротической теории может быть эквивалентной при соответствующем выборе многообразий.
• T-дуальность приводит к эквивалентности теорий с разными радиусами компактификации R ↔︎ 1/R.
• S-дуальности связывают теории при сильной и слабой связи.

Это означает, что компактификация не только влияет на физические свойства модели, но и служит инструментом для понимания связей между различными теориями фундаментального взаимодействия.