Компактификация в теории струн

В теории струн пространство-время обладает более высокой размерностью, чем привычные нам четыре измерения (три пространственных и одно временное). В большинстве версий суперструн число измерений достигает десяти (в теории М-типа — одиннадцати). Чтобы привести такую теорию в согласие с наблюдаемым четырёхмерным миром, лишние измерения предполагается компактифицировать — свернуть в компактное, малое по размеру многообразие, недоступное для прямого наблюдения.

Классическим примером является компактификация на многообразии Калаби–Яу, где шесть дополнительных измерений сворачиваются в калибровочное пространство с определёнными топологическими и метриками свойствами. Такое многообразие сохраняет N=1 суперсимметрию в четырёхмерном пределе, что делает его привлекательным для феноменологических моделей.

Компактификация задаётся выбором:

  • Размерности и топологии внутреннего пространства;
  • Метрических свойств (например, ричи-плоские метрики);
  • Калибровочных полей и флукса в этих измерениях.

Форма и размер компактифицированного пространства оказывают решающее влияние на спектр элементарных частиц, постоянные взаимодействий и параметры низкоэнергетической теории.

Эффективная теория на низких энергиях

При компактификации теория в 10 или 11 измерениях сводится к эффективной четырёхмерной теории на больших масштабах. Эта теория содержит:

  • Гравитацию (в виде метрического тензора);
  • Калибровочные поля, происходящие из компонентов метрического тензора и форм Рамонда–Рама в дополнительных измерениях;
  • Скалярные поля, соответствующие модам колебаний формы и размера компактного пространства (модули);
  • Фермионы, в том числе кандидаты на стандартные фермионы SM.

Например, размер дополнительного измерения проявляется в четырёхмерной теории как скалярное поле — модуль радиуса. Аналогично, форма многообразия порождает поля, описывающие деформации структуры Калаби–Яу. Эти модули нуждаются в стабилизации — их значения должны быть зафиксированы, иначе физические константы были бы нестабильны.

Роль флукса и стабилизация модулей

Стабилизация модулей является одной из центральных задач компактификации. Один из подходов — включение фоновых флуксов калибровочных полей в компактном пространстве. Такие флуксы создают потенциал для скалярных модулей и позволяют закрепить их значения.

Ключевые механизмы стабилизации:

  • Флуксы NS-NS и RR-полей в типах IIA и IIB;
  • Геометрическая компактность, например, использование многообразий со скрученной топологией;
  • Непертурбативные эффекты, такие как инстантоны или эффект конфаймента в скрытом секторе;
  • Потенциалы супергравитации, возникающие после интегрирования по дополнительным измерениям.

Особое значение имеет механизм ККЛТ (Kachru-Kallosh-Linde-Trivedi), в котором стабилизация модулей достигается с помощью комбинации флуксов, антисостояний D-бран и эффекта супергравитационного суперпотенциала. Это позволяет получать реалистичные де-Ситтеровские вакуумы с положительной космологической постоянной.

Спектр частиц и симметрий после компактификации

Спектр элементарных частиц в низкоэнергетической теории зависит от:

  • Топологии компактифицированного пространства;
  • Наличия калибровочных групп на бранных конфигурациях;
  • Расщепления симметрий при переходе от теории струн к 4D-теории.

К примеру, компактификация гетеротической струны на многообразии Калаби–Яу может привести к четырёхмерной теории с группой SU(3) × SU(2) × U(1) — как в Стандартной модели. При этом фермионный спектр может включать три поколения лептонов и кварков, в зависимости от индексов операторов Дирака на компактном пространстве.

Роль играют и монодромии, связывающие различные циклы в топологии многообразия, что влияет на вырождение мод и симметрий. Важным аспектом является возникновение аномалий и их отмена средствами теории струн — через механизмы Грина–Шварца и генерацию дополнительной U(1)-симметрии.

Компактификация на орбифолдах и тороидах

Кроме Калаби–Яу, часто используется компактификация на тороидальных или орбифольдных пространствах, где пространство формально представляется как Tn/G, где G — дискретная симметрия.

Преимущества таких моделей:

  • Простота вычислений;
  • Чёткий контроль над спектром;
  • Возможность конструировать модели с минимальной суперсимметрией или вообще без неё.

Например, тип IIB на T6/ℤ2 × ℤ2 может приводить к полуреалистичной спектроскопии и калибровочным группам. Такие компактные пространства допускают явное включение флуксов и анализ вакуумных решений.

Однако, такие компактификации часто страдают от большого числа неустойчивых модулей, и требуют дополнительных механизмов стабилизации.

Компактификация и космология

Компактифицированные модели имеют важные следствия для космологии. Развитие Вселенной, инфляция, генерация структуры, барионная асимметрия — все эти процессы могут зависеть от поведения модулей, флуксов и динамики дополнительных измерений.

Особенно важна модульная космология, где динамика модулей в ранней Вселенной может:

  • Инициировать инфляцию;
  • Вести к перезапуску reheating;
  • Генерировать тёмную материю и энергию;
  • Приводить к вариациям физических констант во времени.

Также компактификация влияет на вероятность нахождения во “возможном” вакууме в ландшафте теории струн. Множество решений, возникающих при различных конфигурациях флуксов и геометрий, формирует ландшафт струнных вакуумов. В этом контексте исследуются вероятностные подходы и антропный принцип как объяснение наблюдаемых свойств Вселенной.

Компактификация и теория М

В теории M, одиннадцатимерной версии струнной теории, дополнительное измерение компактифицируется либо на S1, либо на сложных 7-мерных многообразиях, например G₂-многообразиях. Эти объекты допускают ричи-плоскую метрику и сохраняют минимальную суперсимметрию.

Особенности:

  • Компактное 7-мерное пространство → 4D теория с ???? = 1 SUSY;
  • G₂-компактификация даёт потенциал для генерации структуры Стандартной модели;
  • Включение мембран и M5-бран порождает интересную физику — от скрытых секторов до потенциальных кандидатов на тёмную материю.

Заключительная ремарка по структуре пространства

Компактификация — не просто технический приём, позволяющий согласовать размерности теории с наблюдаемым миром. Это фундаментальный элемент, определяющий:

  • Спектр элементарных частиц;
  • Силы взаимодействий;
  • Динамику ранней Вселенной;
  • Возможности выхода за пределы Стандартной модели.

По сути, свойства пространства и его геометрия становятся активными игроками в физике элементарных частиц. Их выбор — это выбор закона природы.

Оглавление