Квантовая запутанность, являясь фундаментальным феноменом квантовой механики, в контексте квантовой теории поля (КТП) приобретает особое значение. В отличие от квантовой механики с конечным числом степеней свободы, КТП описывает бесконечномерные гильбертовы пространства, в которых запутанность проявляется как между частицами, так и между пространственными областями. Запутанность становится неотъемлемой частью описания локальности, причинности и структуры вакуума.
В КТП каждому открытому подмножеству ???? ⊂ ℝd + 1 ставится в соответствие алгебра наблюдаемых ????(????). Эти алгебры удовлетворяют следующим ключевым аксиомам:
Эти алгебры действуют в гильбертовом пространстве состояний, в котором вакуумное состояние |0⟩ является инвариантным относительно группы симметрий. При этом запутанность проявляется не только как корреляции между частицами, но и между пространственными областями — даже в состоянии вакуума.
Энтропия запутанности — количественная мера корреляций между двумя подсистемами. Пусть ℋ = ℋA ⊗ ℋB, и система находится в чистом состоянии |ψ⟩. Ограничивая |ψ⟩ на подсистему A, получаем редуцированную матрицу плотности:
ρA = TrB|ψ⟩⟨ψ|
Энтропия фон Неймана:
SA = −Tr (ρAlog ρA)
В КТП такое разбиение проводится не по частицам, а по пространственным областям. Если A ⊂ ℝd — некоторая область, то SA характеризует количество квантовой корреляции между A и её дополнением. Для вакуумного состояния |0⟩ даже при отсутствии возбуждений SA ≠ 0, и более того, эта энтропия ультрафиолетово расходится.
В квантовой теории поля энтропия запутанности оказывается расходящейся:
$$ S_A \sim \frac{\text{Area}(\partial A)}{\epsilon^{d-1}} $$
где ϵ — УФ-срез, ∂A — граница области A. Такое поведение напоминает энтропию черной дыры (энтропия Бекенштейна–Хокинга), пропорциональную площади горизонта, что указывает на глубокую связь между запутанностью и гравитацией.
Это «правило площади» резко контрастирует с классической термодинамикой, где энтропия масштабируется с объемом. Расходимость отражает сильную запутанность между степенями свободы на границе ∂A и ее внешней частью.
Для подсистемы A, модулярная гамильтониана KA определяется как:
$$ \rho_A = \frac{e^{-K_A}}{\operatorname{Tr}(e^{-K_A})} $$
Хотя в общем случае KA — нетривиальный и не локальный оператор, для некоторых геометрий (например, половинного пространства или шара в КТП на вакууме) KA можно записать в виде интеграла от локальных операторов, как в результате теоремы Бисогнио–Вихмана:
KA = 2π∫x1 > 0x1T00(x) ddx
что интерпретируется как «ускоренное» наблюдение. В этом случае редуцированное состояние вакуума становится термализированным относительно унитарного эволюционного оператора, порождённого KA.
Запутанность в КТП связана также с поведением корреляционных функций. Например, корреляторы оператора поля ϕ(x)ϕ(y) в вакууме демонстрируют долгопробежные корреляции, убывающие с расстоянием, но не исчезающие полностью. Это отражает фундаментальную неразложимость вакуума на независимые подсистемы.
В частности, функция взаимной информации:
I(A : B) = SA + SB − SA ∪ B
даёт ультрафиолетово-сходящуюся величину, которая может использоваться для измерения запутанности между двумя конечными областями A и B. Она строго положительна при наличии запутанности.
В теориях с топологическим порядком (например, в 2 + 1-мерных топологических теориях поля типа Chern–Simons), энтропия запутанности включает в себя универсальную, топологическую часть:
SA = α |∂A| − γ
где γ — топологическая энтропия, зависящая от глобальных свойств состояния. Такая энтропия не зависит от УФ-среза и является инвариантом теории.
Это показывает, что запутанность может нести информацию о глобальной структуре квантового состояния, что важно для понимания фаз вещества, квантовой памяти и голографических принципов.
В рамках голографического принципа (AdS/CFT-соответствие), энтропия запутанности в граничной теории описывается геометрически в объемлющем пространстве через формулу Рюу–Такаянани:
$$ S_A = \frac{\text{Area}(\gamma_A)}{4G_N} $$
где γA — минимальная поверхность в AdS, натянутая на границу ∂A. Эта формула связывает энтропию запутанности с гравитацией и топологией, и является сильнейшим проявлением взаимосвязи между квантовой информацией и геометрией.
В этом подходе гравитационная динамика выводится из поведения запутанности, и, напротив, вариации энтропии запутанности удовлетворяют уравнениям Эйнштейна. Эта идея лежит в основе таких концепций, как «гравитация из запутанности» (entanglement builds geometry).
Запутанность между пространственно разделенными областями не нарушает причинность, поскольку нельзя использовать её для передачи информации. Однако корреляции, обусловленные запутанностью, могут вызывать парадоксальные эффекты, особенно в контексте негауссовых состояний и в моделях квантовой телепортации.
Это особенно важно при анализе информационного парадокса черных дыр, где запутанность между излучением Хокинга и остатками черной дыры приводит к противоречиям между унитарностью и локальностью. Эти конфликты находят частичное разрешение в моделях восстановления унитарности через квантовую корреляционную структуру.
Эволюция запутанности после квантового возбуждения (например, после квенча — внезапного изменения гамильтониана) описывается ростом энтропии запутанности в пространстве и времени. В (1+1)-мерной КТП при конформной симметрии этот процесс поддается аналитическому описанию через конформные преобразования и операторы Верма.
Динамика запутанности играет ключевую роль в понимании теплостизации замкнутых квантовых систем, и связана с гипотезами о факторизации и спонтанной декогеренции в КТП.
Для анализа структуры запутанности используют энтропии Ренье:
$$ S_n = \frac{1}{1 - n} \log \operatorname{Tr}(\rho_A^n) $$
которые при n → 1 переходят в энтропию фон Неймана. В КТП вычисление Sn реализуется с помощью метода реплик, где n-кратное покрытие пространства-врeмени приводит к появлению конусных особенностей и аномалий.
Эти величины несут информацию не только о величине запутанности, но и о спектре собственных значений редуцированной плотности, т. е. энтропийной структуре квантового состояния.
Современные исследования все более утверждают мысль, что квантовая запутанность — это строительный кирпич пространства-времени. Гипотезы ER=EPR (Эйнштейн–Розен = Эйнштейн–Подольский–Розен) предполагают, что червоточины между областями AdS соответствуют состояниям квантовой запутанности. В этих моделях геометрия возникает из структуры корреляций.
Таким образом, в КТП запутанность — не просто свойство состояний, но и фундаментальная характеристика локальной структуры, границ, и даже динамики поля.