Полный лагранжиан Стандартной модели
Глобальная структура лагранжиана
Лагранжиан Стандартной модели (СМ) объединяет в себе динамику и взаимодействие всех известных элементарных фермионов (лептонов и кварков), калибровочных бозонов (переносчиков взаимодействий), а также скалярного поля Хиггса, ответственного за механизм спонтанного нарушения симметрии и генерацию масс. Он строится на основе принципа локальной калибровочной инвариантности по отношению к группе симметрии
????СМ = SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y
где:
Полный лагранжиан можно записать в виде суммы:
ℒСМ = ℒкин + ℒинт + ℒХиггс + ℒЮкава
Кинетические члены для калибровочных полей
Каждому подмножеству симметрии соответствует собственное калибровочное поле. Эти поля описываются через тензоры напряжённости (полевые тензоры), определяющие динамику свободных полей:
$$ \mathcal{L}_{\text{кин}}^{\text{глюоны}} = -\frac{1}{4} G_{\mu\nu}^a G^{a\mu\nu}, \quad a = 1, \ldots, 8 $$
где Gμνa — тензор напряжённости глюонного поля, связанного с SU(3)C.
$$ \mathcal{L}_{\text{кин}}^{\text{слабо}} = -\frac{1}{4} W_{\mu\nu}^i W^{i\mu\nu}, \quad i = 1,2,3 $$
где Wμνi — тензор напряжённости калибровочного поля слабого взаимодействия SU(2)L.
$$ \mathcal{L}_{\text{кин}}^{\text{гиперзаряд}} = -\frac{1}{4} B_{\mu\nu} B^{\mu\nu} $$
где Bμν — тензор гиперзарядного поля U(1)Y.
Кинетические члены для фермионных полей
Фермионы представлены полями с различной трансформацией под действием калибровочной группы. Кинетический член включает ковариантную производную:
ℒкинфермионы = ∑ψψ̄iγμDμψ
где сумма берётся по всем фермионным представлениям: левым дублетам лептонов и кварков, а также правым сингелетам. Ковариантная производная имеет вид:
Dμ = ∂μ − igsTaGμa − igTiWμi − ig′YBμ
Здесь gs, g, g′ — соответственно константы взаимодействия для SU(3)C, SU(2)L, U(1)Y, Ta, Ti — генераторы соответствующих алгебр Ли, Y — гиперзаряд.
Структура фермионных поколений
Каждое поколение фермионов имеет следующую структуру:
Лептоны:
$$ L_L = \begin{pmatrix} \nu_L \\ e_L \end{pmatrix}, \quad e_R $$
Кварки:
$$ Q_L = \begin{pmatrix} u_L \\ d_L \end{pmatrix}, \quad u_R,\ d_R $$
Каждое из этих полей преобразуется по определённому представлению калибровочной группы, причём только левые поля являются дублетами по SU(2)L, а правые — сингелеты.
Сектор Хиггса и спонтанное нарушение симметрии
Введём скалярное поле Хиггса Φ, представляющее собой SU(2)L-дублет с гиперзарядом $Y = +\tfrac{1}{2}$:
$$ \Phi = \begin{pmatrix} \phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} $$
Кинетический и потенциал Хиггса:
ℒХиггс = (DμΦ)†(DμΦ) − V(Φ), V(Φ) = μ2Φ†Φ + λ(Φ†Φ)2
При μ2 < 0 поле Φ приобретает вакуумное среднее значение:
$$ \langle \Phi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix}, \quad v = \sqrt{-\mu^2/\lambda} $$
Это приводит к нарушению симметрии SU(2)L × U(1)Y → U(1)EM, в результате чего калибровочные бозоны W± и Z приобретают массы, а фотон остаётся безмассовым.
Генерация масс: калибровочные бозоны
После спонтанного нарушения симметрии, члены (DμΦ)†(DμΦ) порождают массовые члены для калибровочных полей:
$$ M_W = \frac{1}{2}gv, \quad M_Z = \frac{1}{2}v\sqrt{g^2 + g'^2}, \quad M_\gamma = 0 $$
Связь между калибровочными полями и наблюдаемыми бозонами осуществляется через преобразование Вайнберга:
$$ \begin{aligned} A_\mu &= \cos\theta_W B_\mu + \sin\theta_W W^3_\mu \\ Z_\mu &= -\sin\theta_W B_\mu + \cos\theta_W W^3_\mu \end{aligned} $$
где угол Вайнберга определяется как tan θW = g′/g.
Юкавовские взаимодействия и массы фермионов
Массы фермионов не могут быть напрямую добавлены в лагранжиан из-за калибровочной инвариантности. Они генерируются через взаимодействие с полем Хиггса:
ℒЮкава = −yeL̄LΦeR − ydQ̄LΦdR − yuQ̄LΦ̃uR + h.c.
где Φ̃ = iσ2Φ* — сопряжённый дублет.
После замены Φ → ⟨Φ⟩ рождаются массовые члены:
$$ m_f = \frac{y_f v}{\sqrt{2}}, \quad f = e, u, d $$
Каждому фермиону соответствует собственная Юкавовская константа, не предсказываемая теорией.
Структура иерархии поколений и CKM-матрица
Для кварков взаимодействия через Хиггс приводят к появлению неконтролируемых комплексных матриц Юкавы. Диагонализация этих матриц даёт физические массы и матрицу смешивания ККМ (Кабиббо—Кобаяши—Маскава), ответственную за переходы между поколениями:
$$ \mathcal{L}_{\text{слаб}}^{\text{заряженный ток}} = \frac{g}{\sqrt{2}} \bar{u}_L \gamma^\mu V_{\text{CKM}} d_L W^+_\mu + \text{h.c.} $$
где VCKM — унитарная матрица размерности 3 × 3, отражающая несоответствие между массами и слабыми собственными состояниями кварков.
Обобщённый вид лагранжиана
Собирая все компоненты, лагранжиан Стандартной модели имеет следующую форму:
$$ \begin{aligned} \mathcal{L}_{\text{СМ}} = & -\frac{1}{4} G_{\mu\nu}^a G^{a\mu\nu} - \frac{1}{4} W_{\mu\nu}^i W^{i\mu\nu} - \frac{1}{4} B_{\mu\nu} B^{\mu\nu} \\ & + \sum_\psi \bar{\psi} i\gamma^\mu D_\mu \psi + (D_\mu \Phi)^\dagger (D^\mu \Phi) - V(\Phi) \\ & - \left( y_e \bar{L}_L \Phi e_R + y_d \bar{Q}_L \Phi d_R + y_u \bar{Q}_L \tilde{\Phi} u_R + \text{h.c.} \right) \end{aligned} $$
Все взаимодействия, кроме гравитационного, включены в этот лагранжиан. Он представляет собой квантово-полевую теорию, калибровочно-инвариантную, ренормализуемую и эмпирически подтверждённую до чрезвычайно высокой точности.