В квантовой теории поля и физике элементарных частиц матричные элементы переходов описывают вероятность перехода квантовой системы из одного состояния в другое под действием оператора взаимодействия. Формально, если начальное состояние обозначено как |i⟩, конечное как |f⟩, а гамильтониан взаимодействия (или соответствующий оператор тока) — как Ô, то матричный элемент записывается в виде:
⟨f|Ô|i⟩.
Этот объект содержит полную информацию о процессе на уровне амплитуды, включая динамику взаимодействия и структуру состояний.
Квадрат модуля матричного элемента даёт амплитуду вероятности перехода. Для расчёта физических величин, таких как сечения рассеяния и вероятности распадов, используется правило Ферми:
$$ d\Gamma = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle f | \hat{O} | i \rangle|^2 \delta(E_f - E_i) d\Phi, $$
где dΦ — фазовый объём, а дельта-функция обеспечивает сохранение энергии.
Таким образом, вычисление матричных элементов — центральная задача в предсказании наблюдаемых характеристик элементарных процессов.
Рассмотрим электромагнитные переходы между состояниями нуклонов. Оператор взаимодействия в этом случае — электромагнитный ток Jμ(x). Тогда матричный элемент имеет вид:
$$ \langle N(p') | J^\mu(0) | N(p) \rangle = \bar{u}(p') \left[ \gamma^\mu F_1(Q^2) + \frac{i\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m_N} F_2(Q^2) \right] u(p), $$
где F1 и F2 — форм-факторы, q = p′ − p, Q2 = −q2. Здесь структура тока параметризована в терминах форм-факторов, которые определяются экспериментально и описывают распределение зарядов и токов внутри нуклона.
Матричные элементы часто параметризуют в виде инвариантных амплитуд, чтобы использовать симметрии Лоренца и другие требования теории. В случае слабого распада мезона, например K → πℓν, слабый ток записывается как:
⟨π(p′)|s̄γμu|K(p)⟩ = (p + p′)μf+(q2) + (p − p′)μf−(q2),
где f+(q2) и f−(q2) — инвариантные форм-факторы, зависящие от переноса импульса.
Такое представление удобно при сопоставлении теории с экспериментом, поскольку упрощает изолирование кинематических и динамических факторов.
При больших энергиях и импульсных передатчиках важную роль играет операторное разложение (Operator Product Expansion, ОПЭ). Оно позволяет представить матричные элементы как сумму вкладов операторов различной размерности:
T{J(x)J(0)} ∼ ∑nCn(x)????n(0),
где Cn(x) — коэффициенты Вильсона, а ????n — операторы, определяющие структуру переходов. Тогда матричный элемент можно рассматривать как сумму:
⟨f|T{J(x)J(0)}|i⟩ = ∑nCn(x)⟨f|????n(0)|i⟩.
Такой подход лежит в основе глубоконеупругого рассеяния и анализа структуры нуклонов.
В Стандартной модели взаимодействия определяются через лагранжиан, включающий калибровочные поля и фермионы. Например, слабое взаимодействие, опосредованное бозоном W, даёт вклад к распадам лептонов и кварков:
$$ \mathcal{L}_\text{weak} = \frac{g}{\sqrt{2}} \bar{u}_i \gamma^\mu (1 - \gamma^5) V_{ij} d_j W_\mu^+ + \text{h.c.}, $$
что ведёт к появлению соответствующего тока в матричном элементе:
⟨f|ūiγμ(1 − γ5)dj|i⟩.
Таким образом, структура матричных элементов напрямую связана с калибровочной структурой теории.
Симметрии играют ключевую роль в построении и анализе матричных элементов. Инвариантность по отношению к преобразованиям Лоренца, калибровочным преобразованиям, заряду, четности (P), зарядовому сопряжению (C), времени (T) и их комбинациям накладывают строгие ограничения на возможную форму матричных элементов. Примеры:
Например, в случае псевдоскалярного распада π0 → γγ симметрия C требует, чтобы амплитуда была четной по перестановке фотонов, а симметрия P — чтобы она имела определённую структуру.
Вычисление матричных элементов требует применения конкретной модели, формализма или приближений. Важнейшие методы:
В каждом случае требуется аккуратное применение перенормировки, регуляции УФ-поведения и аккуратное обращение с ненаблюдаемыми степенями свободы.
Распад мюона:
μ− → e−ν̄eνμ
Описывается матричным элементом:
$$ \mathcal{M} = \frac{G_F}{\sqrt{2}} [\bar{u}_e \gamma^\mu (1 - \gamma^5) v_{\nu_e}] [\bar{u}_{\nu_\mu} \gamma_\mu (1 - \gamma^5) u_\mu]. $$
Глубоконеупругое рассеяние:
e− + p → e− + X
Суммарный матричный элемент имеет вид:
$$ \mathcal{M} = \frac{e^2}{Q^2} \bar{u}_e \gamma^\mu u_e \cdot \langle X | J_\mu | p \rangle. $$
Информация о структуре адрона содержится в ⟨X|Jμ|p⟩, который в рамках партонной модели выражается через структуральные функции F1(x, Q2), F2(x, Q2).
Фаза матричного элемента играет критическую роль в интерференционных явлениях и нарушении CP-симметрии. Унитарность S-матрицы приводит к оптической теореме, связывающей мнимую часть диагонального матричного элемента с суммой вероятностей всех возможных переходов:
2Im⟨i|T|i⟩ = ∑f|⟨f|T|i⟩|2.
Это важное ограничение лежит в основе анализа резонансов и ширин распада.
Для прямого сравнения с экспериментом, матричные элементы преобразуются в сечения, ширины распадов и асимметрии. Например, ширина распада:
$$ \Gamma = \frac{1}{2m} \int d\Phi_f |\mathcal{M}|^2, $$
где ℳ — матричный элемент, а dΦf — фазовый объём. Структурная форма ℳ определяет зависимость от масс, углов, энергии, поляризаций и других параметров.
Современные исследования направлены на более точное определение матричных элементов с использованием:
Они позволяют не только предсказывать новые процессы, но и проверять пределы применимости Стандартной модели.