В теоретической физике спонтанное нарушение симметрии (СНС) играет фундаментальную роль в понимании происхождения масс элементарных частиц и структуры вакуума. В отличие от явного нарушения симметрии, когда лагранжиан теории напрямую неинвариантен относительно симметрий, в случае СНС сам лагранжиан сохраняет симметрию, но вакуумное состояние её не разделяет. Этот механизм лежит в основе современных моделей физики элементарных частиц, в частности Стандартной модели, где он реализуется через механизм Хиггса.
Рассмотрим классическую полевая теорию скалярного поля ϕ(x) с потенциальной энергией вида:
V(ϕ) = μ2ϕ†ϕ + λ(ϕ†ϕ)2
где μ2 и λ — параметры теории. Требование стабильности вакуума (V ≥ 0) требует λ > 0. В зависимости от знака μ2, поведение вакуумного состояния радикально меняется:
$$ |\phi|^2 = -\frac{\mu^2}{2\lambda} \equiv \frac{v^2}{2} $$
Это означает, что поле в вакууме принимает ненулевое значение v, и симметрия, присутствующая в лагранжиане, нарушается вакуумом — происходит спонтанное нарушение симметрии.
В случае O(N)-симметричного потенциала множество вакуумных состояний образует сферу в пространстве полей. Выбор конкретной точки на этой сфере (то есть конкретного вакуумного состояния) приводит к спонтанному разрушению симметрии — сохраняется только подгруппа симметрии, оставляющая это состояние инвариантным.
Этот эффект может быть наглядно представлен так называемым “мексиканским шляпным потенциалом” — вращательно симметричным потенциалом, минимум которого не в центре, а по окружности. Выбор одной конкретной точки на окружности нарушает исходную симметрию.
Спонтанное нарушение непрерывной глобальной симметрии приводит к появлению безмассовых бозонов — голдстоуновских частиц. Согласно теореме Голдстоуна, на каждое нарушенное генератором симметрии направление возникает по одной безмассовой частице. Это имеет огромное значение, например, в физике конденсированных сред и квантовой хромодинамике (КХД).
Однако в случае локальной (или калибровочной) симметрии ситуация иная: благодаря механизму Хиггса эти безмассовые бозоны поглощаются соответствующими калибровочными полями, которые приобретают массу.
Для иллюстрации механизма спонтанного нарушения симметрии в калибровочной теории рассмотрим простейшую U(1) теорию с комплексным скалярным полем ϕ и калибровочным полем Aμ. Лагранжиан:
$$ \mathcal{L} = (D_\mu \phi)^\dagger (D^\mu \phi) - V(\phi) - \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} $$
где Dμ = ∂μ − igAμ — калибровочно-ковариантная производная, Fμν — тензор электромагнитного поля. Потенциал V(ϕ) аналогичен приведенному выше:
V(ϕ) = μ2ϕ†ϕ + λ(ϕ†ϕ)2, μ2 < 0
Минимум потенциала достигается при $|\phi| = v/\sqrt{2}$. Выбираем вакуум: $\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}(v + h(x))$, где h(x) — действительное скалярное поле, квантующее отклонения от вакуума. Подставляя в лагранжиан и раскладывая его по степеням полей, получаем:
Таким образом, безмассовый бозон Голдстоуна “поглощается” векторным полем, давая ему третью (продольную) компоненту.
В Стандартной модели спонтанное нарушение симметрии реализуется в рамках SU(2)L × U(1)Y симметрии электрослабого взаимодействия. Поле Хиггса представлено комплексным изодвойственным дублетом:
$$ \phi = \begin{pmatrix} \phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix} $$
При $\langle \phi \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ v/\sqrt{2} \end{pmatrix}$ происходит спонтанное нарушение симметрии до подгруппы U(1)em. Это приводит к следующему:
Таким образом, механизм Хиггса обеспечивает массу не только калибровочным бозонам, но и, через взаимодействия с Хиггсовским полем, фермионам — электрону, кваркам и др.
Ключевой физический объект в теории спонтанного нарушения симметрии — вакуумное среднее поля, обозначаемое как ⟨ϕ⟩. Именно оно определяет масштаб нарушения симметрии. Например, в Стандартной модели:
v = ⟨ϕ⟩ = 246 ГэВ
Это значение измеряется экспериментально, исходя из массы W-бозона и известного значения константы слабого взаимодействия GF.
Фермионы приобретают массу за счёт взаимодействия с Хиггсовским полем через лагранжиан Юкавы:
ℒY = −yfψ̄LϕψR + h.c.
При разложении Хиггсовского поля около вакуума в лагранжиане возникает член:
$$ \mathcal{L}_m = - \frac{y_f v}{\sqrt{2}} \bar{\psi} \psi $$
Таким образом, масса фермиона $m_f = y_f v / \sqrt{2}$ прямо пропорциональна вакуумному среднему и постоянной Юкавы.
В квантовой хромодинамике СНС возникает не из-за Хиггсовского механизма, а в результате конденсации кварков. Вакуумное среднее ⟨q̄q⟩ ≠ 0 приводит к спонтанному нарушению хиральной симметрии SU(Nf)L × SU(Nf)R → SU(Nf)V, где Nf — число легких ароматов.
Голдстоуновскими бозонами в этом случае выступают лёгкие псевдоскалярные мезоны: π, K, η. Их малые массы обусловлены тем, что хиральная симметрия нарушена не только спонтанно, но и явно — ненулевыми массами кварков.
В теориях с богатой топологической структурой, таких как КХД, важную роль играют вакуумные состояния, связанные с различными топологическими секторами. Появление θ-терма в лагранжиане связано с возможностью нелокальных туннелинговых переходов между вакуумами. Эти эффекты могут нарушать симметрии, такие как P и CP, даже в отсутствии явного нарушения лагранжиана.
Существование механизмов подавления подобных нарушений, например, через аксионное поле, также опирается на идеи спонтанного нарушения симметрии.
Механизм спонтанного нарушения симметрии универсален и проявляется на всех масштабах: от физики элементарных частиц до физики конденсированных сред и космологии. Он позволяет понять, как из симметричных фундаментальных законов природы возникают асимметричные наблюдаемые структуры, и объясняет появление масс без явного нарушения симметрии в лагранжиане.