Интегрируемость и бесконечное число законов сохранения в теориях поля
Интегрируемые модели в квантовой теории поля и статистической физике представляют собой особый класс теорий, обладающих необычайно богатой симметрией. В отличие от большинства физических систем, для которых характерно лишь конечное число законов сохранения (например, энергия, импульс, угловой момент), интегрируемые модели характеризуются существованием бесконечного числа независимых интегралов движения.
Это делает такие теории строго решаемыми: можно аналитически получить спектр возбуждений, матрицы рассеяния и корреляционные функции. Более того, в этих моделях динамика существенно ограничена: например, отсутствует рассеяние с изменением числа частиц или слияние/распад возбуждений. Частицы взаимодействуют, но выходят из столкновения без изменения структуры.
Бесконечное число законов сохранения возникает в интегрируемых системах в силу существования дополнительной симметрии, называемой инфинитезимальной симметрией или скрытой симметрией. Эти симметрии обычно не являются точечными (в смысле классических симметрий типа трансляций), а выражаются через нелокальные или высшие производные от поля.
Основным техническим инструментом, позволяющим продемонстрировать интегрируемость модели, является наличие матричного уравнения Лакса. Система уравнений записывается в виде:
$$ \frac{dL}{dt} = [M, L], $$
где L и M — это операторные (или матричные) функции, зависящие от динамических переменных системы. Такое представление автоматически гарантирует сохранение спектра оператора L, что приводит к бесконечному числу законов сохранения, выражаемых через следы Tr(Ln).
Одна из наиболее известных интегрируемых моделей в (1+1)-мерной квантовой теории поля, описывается лагранжианом:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \frac{\alpha}{\beta^2} \left( \cos(\beta \phi) - 1 \right), $$
где ϕ(x, t) — скалярное поле. Эта теория допускает как солитонные, так и антисолитонные решения. Уравнение движения обладает Лаксовым представлением и допускает бесконечное количество сохранённых зарядов:
Qn = ∫dx j(n)0(x, t),
где токи j(n)μ удовлетворяют уравнению сохранения ∂μj(n)μ = 0.
Рассмотрим одномерную решётчатую систему частиц с экспоненциальным взаимодействием между ближайшими соседями. Континуальный предел модели Тоды также является интегрируемым и допускает формулировку в терминах Лакса. И снова, вся динамика определяется бесконечным числом инвариантов In = Tr(Ln), где L — соответствующий оператор Лакса.
Модель с мишенью S2 или более общей компактной римановой многообразной мишенью:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2g^2} \text{Tr} \left( \partial_\mu U^\dagger \partial^\mu U \right), $$
где U ∈ SU(N). В двумерном случае модель становится интегрируемой и обладает бесконечным числом сохранённых токов, что можно продемонстрировать с помощью расширенного формализма Лакса.
Бесконечные законы сохранения в интегрируемых моделях можно формализовать в терминах бесконечномерных алгебр — например, алгебр Янгяна, криволинейных алгебр Ли или алгебр Вирасоро в контексте двумерных конформных теорий.
Сохраняющиеся токи j(n)μ могут быть как локальными, так и нелокальными. Например, в синус-Гордоновской модели нелокальные токи можно строить из поля ϕ и его экспонент, что приводит к сохранённым зарядам вида:
Q± = ∫dx e±iβϕ(x),
которые связаны с аффинной алгеброй.
Коммутационные соотношения между токами и зарядами определяют структуру алгебры симметрий, отвечающей за интегрируемость. Эти алгебры можно квантовать, что приводит к квантовым группам и деформациям универсальных обертывающих алгебр.
Ключевое следствие существования бесконечного числа интегралов движения — полная факторизация S-матрицы. В (1+1) измерениях рассеяние многочастичных состояний сводится к последовательности двухчастичных столкновений. При этом:
Формально S-матрица удовлетворяет уравнению Янга-Бакстера:
S12(θ1 − θ2)S13(θ1 − θ3)S23(θ2 − θ3) = S23(θ2 − θ3)S13(θ1 − θ3)S12(θ1 − θ2),
что обеспечивает согласованность факторизации.
При переходе от классической к квантовой теории некоторые законы сохранения могут нарушаться в силу квантовых аномалий. Однако в интегрируемых теориях большая часть зарядов устойчива к квантованию.
Техника бета-функции и анализ операторного расширения показывают, что в некоторых моделях (например, в модели Гросса–Невье) существует целая серия сохранённых токов, которые выживают квантование.
Интегрируемые модели можно деформировать так, чтобы сохранить бесконечную иерархию симметрий. Среди таких деформаций:
В последних десятилетиях интегрируемые модели с бесконечным числом законов сохранения нашли применение в контексте дуальности AdS/CFT. Модель суперструны на фоне AdS5 × S5 является интегрируемой, а динамика на струне и на краю (в теории ???? = 4 суперсимметричного Янга–Миллса) описывается эквивалентными интегрируемыми системами.
Там же возникает концепция двойственных зарядов, и алгебра симметрий модели существенно расширяется до супераффинной алгебры.
Интегрируемые модели с бесконечным числом законов сохранения также играют центральную роль в решении двумерных классических и квантовых моделей статистики:
Модели с бесконечным числом законов сохранения служат лабораторией для изучения глубинных структур квантовой теории поля, таких как алгебры симметрий, факторизуемая динамика и точные решения. Их изучение лежит на стыке математики (теория представлений, алгебры Ли, геометрия расслоений) и физики (струнная теория, теория критических явлений, сильные взаимодействия в (1+1)-мерии).