В отличие от абелевых калибровочных теорий (например, электродинамики), где группа симметрии коммутативна (U(1)), неабелевы теории основаны на некомутационных (неабелевых) группах Ли, таких как SU(2), SU(3) и другие. Именно такие группы лежат в основе взаимодействий в Стандартной модели: SU(2) — слабое взаимодействие, SU(3) — квантовая хромодинамика.
Пусть поле ψ(x) трансформируется по фундаментальному представлению некоторой непрерывной компактной группы Ли G с генераторами Ta. Глобальная симметрия, описываемая трансформацией
ψ(x) → Uψ(x), U = eiαaTa
превращается в локальную, если параметры α^a становятся функциями координат: αa = αa(x). Для сохранения инвариантности лагранжиана при таких преобразованиях вводится калибровочное поле Aμa(x), которое преобразуется по определённому закону.
Для реализации локальной G-инвариантности вводится ковариантная производная:
Dμ = ∂μ − igAμa(x)Ta
где g — константа связи, Ta — генераторы группы, удовлетворяющие коммутаторам
[Ta, Tb] = ifabcTc
с fabc — структура́ными константами группы.
Калибровочное поле Aμ = AμaTa является элементом алгебры Ли. Поле напряжённости (кривизна связи) определяется как
$$ F_{\mu\nu} = \frac{i}{g} [D_\mu, D_\nu] = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu - ig [A_\mu, A_\nu] $$
или в компонентной форме:
Fμνa = ∂μAνa − ∂νAμa + gfabcAμbAνc
Квадратичная по полям часть лагранжиана имеет вид:
$$ \mathcal{L}_\text{gauge} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu\,a} $$
Ключевое отличие от абелевых теорий — наличие нелинейных членов в поле напряжённости, обусловленных коммутатором [Aμ, Aν]. Это приводит к самодействию калибровочных бозонов. В квантовой электродинамике (QED) фотон не взаимодействует сам с собой, но в теории с группой SU(N) глюоны (или бозоны SU(2)) имеют тройное и четверное взаимодействие. Это обуславливает такие физические явления, как конфайнмент и асимптотическая свобода.
Пусть ψ — изоспиноровое поле, а Aμ = Aμaτa/2, где τa — матрицы Паули. Тогда лагранжиан принимает вид:
$$ \mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \frac{1}{4} F_{\mu\nu}^a F^{\mu\nu\,a} $$
Здесь калибровочная инвариантность по SU(2) требует, чтобы ψ было дублетом, а поля Aμa — триплетом. Генераторы τa/2 удовлетворяют коммутаторным соотношениям [τa/2, τb/2] = iϵabcτc/2.
Под действием локальной трансформации U(x) ∈ G, поля преобразуются как:
ψ(x) → U(x)ψ(x)
$$ A_\mu(x) \rightarrow U(x)A_\mu(x)U^\dagger(x) + \frac{i}{g} U(x) \partial_\mu U^\dagger(x) $$
Fμν(x) → U(x)Fμν(x)U†(x)
Таким образом, лагранжиан инвариантен относительно таких преобразований, обеспечивая возможность калибровочного квантования.
При квантовании неабелевой теории возникают дополнительные сложности из-за избыточности описания: физическое состояние инвариантно относительно калибровочной группы. Для устранения избыточных степеней свободы вводится фиксация калибровки, например, лагранжиан с добавлением условия Ландау или Фейнмана:
$$ \mathcal{L}_{\text{gauge fix}} = -\frac{1}{2\xi} (\partial^\mu A_\mu^a)^2 $$
При этом необходимо также учитывать призрачные поля Фаддеева–Попова, отвечающие за корректный учёт якобиана преобразования:
ℒghost = c̄a(−∂μDμab)cb
Эти поля антикоммутирующие (фермионные), но не соответствуют наблюдаемым частицам — они внутренние математические конструкции.
В SU(N)-теориях благодаря нелинейному члену fabcAμbAνc в поле напряжённости наблюдается поведение, противоположное QED: при высоких энергиях взаимодействие ослабевает (асимптотическая свобода), а при низких — усиливается, вызывая конфайнмент.
Величина бета-функции, определяющая изменение константы связи при изменении масштаба, в одном-петлевом приближении для SU(N) c nf фермионными полями:
$$ \beta(g) = -\frac{g^3}{16\pi^2} \left( \frac{11}{3}N - \frac{2}{3}n_f \right) $$
Знак минус означает, что теория асимптотически свободна при $n_f < \frac{11}{2}N$.
Это свойство лежит в основе квантовой хромодинамики (QCD), где глюоны являются калибровочными бозонами SU(3), и объясняет, почему кварки никогда не наблюдаются в свободном состоянии.
При наличии скалярного поля в представлении группы G возможна реализация механизма Хиггса. Пусть скалярное поле ϕ трансформируется как
ϕ(x) → U(x)ϕ(x)
Потенциал V(ϕ) имеет минимум не в нуле, и поле приобретает ненулевое среднее значение. Тогда часть генераторов группы нарушается, а соответствующие калибровочные бозоны получают массы:
mA2 ∼ g2⟨ϕ⟩2
В Стандартной модели это реализуется для группы SU(2) × U(1), где Хиггсовское поле является дублетом SU(2). После спонтанного нарушения симметрии остаётся ненарушенной только диагональная U(1) — электромагнетизм. Бозоны W⁺, W⁻, Z⁰ получают массу, а фотон остаётся безмассовым.
Стандартная модель объединяет три взаимодействия:
Каждому из этих взаимодействий соответствует своя калибровочная группа, калибровочные поля, постоянная связи и фермионные представления. Успех Стандартной модели в объяснении широкого спектра явлений связан с мощью неабелевых калибровочных теорий и их квантового описания.
Калибровочная инвариантность может быть нарушена квантовыми эффектами, особенно в теориях с фермионами. Аномалии — это случаи, когда классическая симметрия не сохраняется при квантовании. Для сохранения согласованности теории (например, унитарности и перенормируемости) необходимо, чтобы все аномалии точно сокращались. Это приводит к строгим ограничениям на спектр фермионов и их представления.
В Стандартной модели сумма аномалий между различными поколениями фермионов обнуляется, что является нетривиальным результатом.
Калибровочные теории можно понимать как теории связностей в расслоении. Калибровочное поле — это 1-форма связи, поле напряжённости — её кривизна. Локальная симметрия — это свобода выбора сечения. Этот геометрический подход проливает свет на глубокие топологические аспекты калибровочных теорий: наличие монополей, инстантонов, θ-термов и т.д.
Такие аспекты особенно важны в нелинейных (неабелевых) теориях, где возможны нетривиальные топологические классы решений, обладающие физическим смыслом — например, инстантоны в QCD, связанные с решением U(1)-проблемы.
Неабелевы калибровочные теории являются краеугольным камнем современной теоретической физики, объединяя симметрию, геометрию, квантовые поля и физические наблюдения в единую структуру.