Суперсимметрия: математическая структура и физическая мотивация
Суперсимметрия (SUSY) представляет собой гипотетическую симметрию между бозонами и фермионами, расширяющую группу Пуанкаре до супералгебры. Основу SUSY составляет супералгебра, включающая фермионные генераторы Qα и их сопряжённые Q̄α̇, удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям:
{Qα, Q̄β̇} = 2σαβ̇μPμ,
{Qα, Qβ} = {Q̄α̇, Q̄β̇} = 0,
где Pμ — оператор импульса, σμ — матрицы Паули, расширенные на пространство Минковского. Эти соотношения показывают, что суперзаряды преобразуют бозоны в фермионы и обратно.
Супералгебра становится расширенной при добавлении нескольких суперзарядов: ????-суперсимметрия имеет ???? наборов QαI, I = 1, ..., ????, что позволяет строить более сложные суперсимметричные теории.
Для описания суперсимметрии удобно вводить суперпространство, в котором, помимо обычных координат xμ, присутствуют антикоммутирующие (грассмановы) координаты θα и θ̄α̇. Функции на суперпространстве называются суперполя.
Пример: хиральное суперполе Φ(x, θ, θ̄), удовлетворяющее ограничению:
D̄α̇Φ = 0,
где D̄α̇ — суперковариантная производная. Такое поле имеет разложение:
$$ \Phi(x, \theta, \bar{\theta}) = A(x) + \sqrt{2} \theta \psi(x) + \theta \theta F(x) + \dots $$
где A(x) — скаляр, ψ(x) — фермион, F(x) — вспомогательное поле.
Минимальная SUSY Lagrangian включает взаимодействия между хиральными и векторными суперполями. Простейший суперсимметричный лагранжиан имеет вид:
ℒ = ∫d4θ Φ†Φ + (∫d2θ W(Φ) + h.c.),
где W(Φ) — суперпотенциал, аналитическая функция от хиральных суперполей. Интегралы по d2θ и d4θ означают проекцию на соответствующие компоненты суперполя.
Также вводятся векторные суперполя V, описывающие калибровочные бозоны и их суперпартнёров — гейджино. Лагранжиан для векторных суперполей:
$$ \mathcal{L}_{\text{gauge}} = \frac{1}{4} \int d^2 \theta\, W^\alpha W_\alpha + \text{h.c.}, $$
где $W^\alpha = -\frac{1}{4} \bar{D} \bar{D} D^\alpha V$ — суперполевой тензор.
1. Иерархическая проблема: Квантовые поправки к массе Хиггса в Стандартной модели (СМ) зависят квадратично от масштаба ультрафиолетового среза. Суперсимметрия компенсирует эти поправки благодаря противоположным вкладам фермионных и бозонных петель, устраняя необходимость в тонкой настройке.
2. Унитаризация взаимодействий: При высоких энергиях (около 1016 ГэВ) бегущие константы взаимодействия СМ не сходятся точно. В supersymmetric GUT (например, SUSY SU(5)) три калибровочные константы сливаются при едином масштабе объединения, что подтверждается ренормгрупповыми расчётами.
3. Темная материя: SUSY предсказывает существование стабильной частицы — лёгчайшей суперсимметричной частицы (LSP), обычно нейтралино. Если сохраняется R-паритет, LSP стабильна и может играть роль холодной тёмной материи.
4. Радиционная электрослабая симметрия: В MSSM (минимальной суперсимметричной модели) возможен динамический механизм нарушения электрослабой симметрии за счёт радиационных эффектов, что естественно объясняет малость масштаба слабых взаимодействий.
В суперсимметрии каждому фермиону соответствует бозон, и наоборот. Таблица соответствий:
| Частица СМ | Спаренный суперпартнёр | Спин |
|---|---|---|
| Кварк | Скварк | 0 |
| Лептон | Слептон | 0 |
| Глюон | Глюино | 1/2 |
| Бозон W/Z | Вино / Зино | 1/2 |
| Фотон | Фотино | 1/2 |
| Хиггс | Хиггсино | 1/2 |
Эти суперпартнёры не наблюдаются при низких энергиях, что свидетельствует о нарушении суперсимметрии.
Реалистичные модели требуют, чтобы SUSY была нарушена при низких энергиях. В противном случае суперпартнёры обладали бы теми же массами, что и частицы СМ. Нарушение может быть:
ℒsoft = −mf̃2|f̃|2 − (Ayf̃1f̃2f̃3 + Bμf̃1f̃2 + h.c.),
где f̃ — скалярные суперпартнёры, A, B — параметры мягкого нарушения.
Механизмы передачи SUSY-нарушения в MSSM:
Каждый механизм задаёт характерную структуру масс суперпартнёров.
MSSM расширяет СМ за счёт:
Потенциал Хиггса в MSSM:
V = (|μ|2 + mHu2)|Hu|2 + (|μ|2 + mHd2)|Hd|2 − (bHuHd + h.c.) + термины Дарбю;
Здесь μ — параметр суперпотенциала, b — параметр нарушения SUSY. После спонтанного нарушения ЭС-симметрии возникают физические бозоны: два CP-нечётных, один CP-чётный (лёгкий), заряжённые Хиггсы и хиггсино.
1. Необнаруженность суперпартнёров на ускорителях, включая LHC, требует, чтобы SUSY была нарушена при массах выше нескольких ТэВ.
2. Проблема µ-параметра: параметр µ в суперпотенциале должен быть порядка слабой шкалы, хотя по структуре теории он может быть произвольно большим. Решения включают механизм Джирард-Димопулос-Холла (Giudice-Masiero) и расширения MSSM.
3. FCNC и CP-нарушения: SUSY-модели с произвольными параметрами дают слишком большие вклады в процессы со сменой аромата и нарушением CP, если не накладывать ограничения на структуру мягких членов.
SUSY тесно связана с космологией:
Глобальная SUSY предполагает инвариантность относительно трансляций. Если суперсимметрия делается локальной, т.е. параметры ϵ(x) зависят от координат, появляется супергравитация — теория гравитации, объединённая с суперсимметрией.
Основное поле: гравитино — суперпартнёр гравитона (спин 3/2). Супергравитация необходима при включении SUSY в контекст теории струн и в рамках сверхсимметричного расширения общей теории относительности.
SUSY — неотъемлемая часть суперструнных теорий, где она обеспечивает отсутствие тахионов и обеспечивает согласованность квантовой теории гравитации. Конечные суперструнные теории имеют 10 измерений и ???? = 1 SUSY после компактификации на калибровочных многообразиях (например, Calabi–Yau). Таким образом, суперсимметрия — естественный элемент микроскопического описания пространства-времени.