Перенормировка

Перенормировка — ключевой концепт квантовой теории поля (КТП), необходимый для придания физического смысла предсказаниям теории. Большинство квантовых теорий, построенных на взаимодействующих полях, изначально содержат бесконечные выражения при вычислении амплитуд процессов. Эти расходимости устраняются путём систематической процедуры перенормировки, в рамках которой параметры теории (массы, заряды, константы связи) интерпретируются как измеряемые, а не фундаментальные.

Возникновение расходимостей в теории

При вычислении диаграмм Фейнмана, включающих петли (loop diagrams), часто появляются интегралы по импульсам виртуальных частиц, которые расходятся в ультрафиолетовой (УФ) области — при больших импульсах. Такие расходимости называют УФ-расходимостями. Они отражают чувствительность теории к микроскопическим масштабам, выходящим за рамки применимости эффективной модели.

Пример: в квантовой электродинамике (КЭД) коррекция к массовому члену электрона приводит к интегралу:

$$ \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{(k^2 - m^2 + i\epsilon)^2} $$

который расходится при k → ∞.

Регуляризация

Первым шагом перенормировки является регуляризация — введение математической процедуры, делающей расходимости управляемыми. Основные методы регуляризации:

• Обрезка по импульсу (cutoff): вводится максимальное значение импульса Λ, выше которого интеграл не считается физически значимым.
• Размерное регуляризация (dimensional regularization): продолжается число пространственно-временных измерений до нецелых значений d = 4 − ϵ, что позволяет выделить полюсы при ϵ → 0.
• Pauli–Villars регуляризация: введение дополнительных «фиктивных» полей с большой массой и противоположной статистикой.

Регуляризация не устраняет расходимости, но делает их явными и контролируемыми.

Перенормировка физических параметров

После регуляризации происходит перенормировка — переопределение параметров теории таким образом, чтобы предсказания для наблюдаемых величин были конечными. Перенормировка основана на том, что физические параметры — наблюдаемые массы и заряды — могут отличаться от «голых» (bare) параметров, введённых в лагранжиан.

Общая схема:

m₀ = m + δm,  Z_ψ = 1 + δZ,  e₀ = Z_ee

где m₀, e₀ — голые масса и заряд, δm, δZ, δZ_e — перенормировочные поправки. Эти параметры выбираются таким образом, чтобы компенсировать расходимости в петлевых диаграммах.

Типы перенормируемых теорий

Перенормируемой называют теорию, в которой требуется лишь конечное число перенормировок (т.е. в лагранжиане содержится конечное число членов, коэффициенты которых нужно перенормировать). Например:

• Квантовая электродинамика (КЭД) — перенормируема.
• Стандартная модель — перенормируема.
• Теории с лагранжианами, содержащими операторы размерности выше 4 — как правило, неперенормируемы, но могут рассматриваться как эффективные теории на низких энергиях.

Классификация дивергенций

Дивергенции в диаграммах классифицируются по степени расходимости (degree of divergence), определяемой степенью УФ-расходимости интеграла. Формально она задаётся:

D = 4L − 2I + ∑_vd_v

где:

• L — число петель,
• I — число внутренних линий,
• d_v — число производных в вершине v.

Перенормировка в КЭД

Пример перенормировки в квантовой электродинамике (на 1-петлевом уровне):

• Поправка к массовому члену электрона → δm
• Поправка к волновой функции электрона → Z₂
• Поправка к заряду → Z₁

Связь между ними регулируется теоремой Уорда–Иденти (Ward Identity):

Z₁ = Z₂

что обеспечивает перенормизуемость теории и сохранение калибровочной инвариантности.

Перенормировочные условия

Существует несколько схем перенормировки:

• На массе (on-shell scheme): параметры определяются при физическом значении массы и импульса.
• Минимальная субтракция (MS) и модифицированная минимальная субтракция ($\overline{\text{MS}}$): из амплитуд убираются только расходимости, пропорциональные 1/ϵ при размерной регуляризации.
• Схема Боголюбова–Парасюка–Хеппа–Циммермана (BPHZ): обобщённый метод систематической субтракции расходимостей.

Группы перенормировки и масштабовая зависимость

Фундаментальным следствием перенормировки является зависимость физических параметров от масштаба — так называемое бегание констант. Эта зависимость описывается группой перенормировки (Renormalization Group, RG), в частности, уравнениями типа:

$$ \mu \frac{d g(\mu)}{d\mu} = \beta(g) $$

где g(μ) — бегущая константа связи, β(g) — бета-функция, определяющая её эволюцию.

Для КЭД:

$$ \beta(e) = \frac{e^3}{12\pi^2} + \dots $$

что показывает, что заряд растёт с увеличением энергии. Это приводит к понятию ландо-полюса, при котором заряд теоретически становится бесконечным — сигнал необходимости перехода к более фундаментальной теории.

Для КХД (квантовой хромодинамики):

$$ \beta(g) = -\left(11 - \frac{2n_f}{3} \right)\frac{g^3}{16\pi^2} $$

что означает асимптотическую свободу — уменьшение силы взаимодействия на больших энергиях.

Эффективные теории и неперенормируемость

Неперенормируемые теории могут иметь физический смысл как эффективные теории, действительные до некоторой шкалы Λ. В этом подходе лагранжиан содержит бесконечное число операторов, упорядоченных по размерности, но на низких энергиях доминируют операторы с меньшей размерностью.

Пример: теория Ферми слабого взаимодействия, в которой взаимодействие описывается 4-фермионным оператором, является неперенормируемой, но даёт хорошие предсказания при E ≪ M_W.

Теорема о перенормизуемости

Боголюбов, Парасюк, Хепп и Циммерман разработали строгую теорию перенормировки (BPHZ-подход), доказывающую, что если теория удовлетворяет определённым условиям (локальность, унитарность, симметрии), то можно систематически устранить все УФ-расходимости.

Кроме того, в рамках функционального интеграла сформулированы правила Вайнберга для оценки степени расходимости диаграмм, и определены условия перенормизуемости с точки зрения размерности операторов.

Современные применения и интерпретации

Современные интерпретации перенормировки опираются на концепцию эффективных полевых теорий (ЭПТ). Согласно ей, любая квантовая теория поля — это приближение некоторой более фундаментальной теории, и перенормировка выражает чувствительность низкоэнергетических наблюдаемых к высокоэнергетическим масштабам.

Этот подход важен при построении новых теорий за пределами Стандартной модели, таких как теория великого объединения, теория суперструн или гравитационные квантовые теории.

Также перенос понятий перенормировки на гравитацию остаётся одной из центральных проблем: обычная КТП гравитационного поля оказывается неперенормируемой. Это стимулировало развитие альтернативных подходов: петлевая квантовая гравитация, асимптотически безопасная гравитация, теория струн.

Перенормировка остаётся неотъемлемой частью структуры КТП — не просто технической процедурой, а фундаментальным проявлением того, как физические теории связаны с масштабами энергии и как они приближённо описывают природу на различных уровнях.