Причинная динамическая триангуляция (ПДТ, англ. Causal Dynamical Triangulations, CDT) представляет собой подход к квантовой гравитации, в котором спинная структура пространства-времени строится посредством последовательного суммирования по причинно допустимым дискретным геометриям. В отличие от традиционной динамической триангуляции (DT), где все возможные триангуляции учитываются без ограничения причинности, в ПДТ вводится строгая причинная структура, ограничивающая топологию и конфигурации разрешённых триангуляций. Это позволяет избежать некоторых патологий, возникающих в евклидовых квантовых теориях гравитации, таких как доминирование «фрактальных» или коллапсирующих геометрий.
Метод ПДТ основан на замене гладкого многообразия псевдоримановой геометрии на дискретное многообразие, составленное из симплексов фиксированной формы. В четырёхмерном случае базовыми строительными блоками являются 4-симплексы, содержащие вершины, рёбра, грани и тетраэдры, соединяемые определённым образом. Основное требование ПДТ — сохранение глобального временного направления, то есть каждая триангуляция должна быть разбита на пространственные сечения фиксированной топологии, упорядоченные по «времени».
Такой подход позволяет строго определить понятие причинности на дискретном уровне: запрещаются «петли времени», многосвязные структуры между слоями и нарушение упорядоченности событий. Каждое пространственное сечение имеет трёхмерную топологию, которая не меняется от слоя к слою, что исключает топологические флуктуации.
Путь к построению квантовой теории гравитации через ПДТ начинается с определения функционального интеграла по всем допустимым геометриям:
$$ Z = \sum_{\mathcal{T}} \frac{1}{C(\mathcal{T})} e^{-S_R[\mathcal{T}]}, $$
где ???? — допустимая причинная триангуляция, C(????) — фактор симметрии, а SR[????] — регge-аналог действия Эйнштейна-Гильберта на данной триангуляции. Эта сумма определяет амплитуду перехода между различными пространственными конфигурациями.
В ПДТ важным аспектом является использование метрики Лоренцева сигнатуры и выполнение аналитического продолжения в евклидово пространство для численного анализа. Таким образом, метод совмещает дискретизацию с сохранением ключевых физических свойств непрерывной гравитации.
Действие в ПДТ записывается в терминах дискретной геометрии, используя формализм Реджге. Для каждой триангуляции учитывается вклад от углов дефицита вокруг двумерных граней (аналогов кривизны в континуальном случае), а также объёмные члены. Действие принимает вид:
SR = −κ0N0 + κ4N4 + Δ(N41 − 6N0),
где:
Одним из важнейших результатов численного моделирования ПДТ является наблюдение появления макроскопической структуры пространства-времени, напоминающей классическую де-Ситтеровскую вселенную. Эта структура возникает в определённой области параметров модели (так называемая фаза C), в которой объёмное распределение по времени показывает гладкую, глобально сферическую форму, аналогичную решению уравнений Эйнштейна с положительным космологическим членом.
Фазовая структура ПДТ, изученная с помощью Монте-Карло методов, включает три основные фазы:
Переходы между фазами, особенно B-C, предполагаются быть второго рода и могут служить местом для определения континуума теории.
В фазе C можно рассмотреть флуктуации геометрии вокруг средних конфигураций. Эти флуктуации поддаются описанию эффективной теорией, в которой центральное место занимает «минисуперкосмологическая» модель — упрощённая космологическая модель с единственной степенью свободы: объёмом пространства на фиксированный момент времени.
Результаты численного анализа показывают, что поведение среднего объёма ⟨V(t)⟩ и его флуктуаций согласуются с предсказаниями теории де-Ситтера, а корреляционные функции поддаются аналитическому описанию в рамках эффективного действия второго порядка. Это является серьёзным подтверждением физичности модели в рассматриваемой фазе.
Важной задачей ПДТ является извлечение непрерывной предельной теории при a → 0, где a — размер симплекса. Для этого необходимо существование критической точки, вблизи которой можно определить масштабную инвариантность и поведение физических наблюдаемых. Если такая точка существует, то можно построить ренормализационную группу и исследовать поведение теории на разных масштабах.
ПДТ предлагает путь к непертурбативному определению квантовой гравитации в духе программы Вайнберга о существовании асимптотически безопасной теории гравитации. Исследование масштабных зависимостей в ПДТ активно продолжается и предполагает возможное существование УФ-фикспойнта, в котором теория становится предсказуемой.
Модель ПДТ была обобщена на различные размерности. Особенно интересным является двумерный случай, где возможна полная аналитическая реализация ПДТ, и где можно чётко показать отличия от евклидовой триангуляции. В двумерной ПДТ удаётся избежать появления фрактальных геометрий с хаусдорфовой размерностью, отличной от классической, в отличие от евклидовой теории.
Также исследуется включение дополнительных полей в ПДТ, включая скалярные и калибровочные, с целью изучения их влияния на геометрию и флуктуации. Появляются работы по квантовой гравитации с использованием гиперболических симплексов, некоммутативной геометрии, включением тензорных моделей как обобщения ПДТ.
Большой интерес вызывает развитие связей между ПДТ и спин-структурами, спин-сетями и петлевой квантовой гравитацией. Хотя методологически ПДТ ближе к суммированию по историям и дискретной геометрии, существует ряд аналогий в построении пространства состояний и эволюции.
Особую роль играют численные симуляции — область активного развития. Мощные алгоритмы Монте-Карло, расширенные методы выборки и оптимизация конфигурационного пространства позволяют строить всё более точные карты фазовой диаграммы и исследовать масштабные пределы теории.
Причинная динамическая триангуляция представляет собой один из наиболее последовательных и контролируемых подходов к непертурбативной квантовой гравитации. Сохранение причинности, строгое определение сумм по геометриям и наблюдаемое появление классического поведения делают ПДТ привлекательным кандидатом для построения фундаментальной теории пространства-времени.