Критические формулировки теории струн
Современная теория струн представляет собой обширную теоретическую конструкцию, допускающую несколько эквивалентных формулировок, каждая из которых подчеркивает различные аспекты фундаментальной физики. Эти формулировки часто связаны между собой через двойственности (dualities), отражая глубокую внутреннюю симметрию теории. Наиболее разработанными являются квантовая теория суперструн в различных калибровках, матричная формулировка, сверхсимметричная теория калибровки в низком измерении, а также AdS/CFT-соответствие. Все эти подходы позволяют по-разному интерпретировать одни и те же физические явления и приводят к единой фундаментальной структуре.
В классической и квантовой теории струны первичной является ковариантная формулировка, основанная на действиях Поляка или Нэмбу–Гото. В этом подходе фундаментальной переменной выступает отображение Xμ(τ, σ), определяющее вложение двумерного мира струны в D-мерное пространство-время.
Действие Поляка имеет вид:
$$ S_P = -\frac{T}{2} \int d^2 \sigma \, \sqrt{-h} \, h^{ab} \, \partial_a X^\mu \partial_b X^\nu \eta_{\mu\nu} $$
где hab — метрический тензор двумерного мира, T — натяжение струны, a, b = 0, 1, а ημν — метрика фонового пространства Минковского.
Введение симметрий повторного параметризования и локальной двумерной конформной симметрии требует фиксации калибровки. Выбор светового конуса или конформной калибровки приводит к различным версиям квантования.
Светоконусная калибровка фиксирует калибровочную свободу за счёт выбора координат таким образом, что одна из них, X+ = X0 + XD − 1, зависит линейно от параметра времени. Это приводит к более явной структуре физических степеней свободы.
В этой калибровке теория становится проще для квантования, но теряется явная лоренц-инвариантность. Квантование осуществляется путём канонического разложения поля Xμ в моды и введения коммутационных соотношений:
[αmμ, αnν] = mδm + n, 0ημν
Однако требуется соблюдение условий согласованности, в частности — устранение отрицательных норм (призрачных состояний), что приводит к критическому размерности пространства D = 26 для бозонной струны и D = 10 для суперструны.
Введение фермионных степеней свободы приводит к суперструнной теории. Существуют две основные формулировки:
Формулировка Рамонда–Невё–Шварца (RNS) использует двумерную суперсимметрию на мире струны. Вводятся фермионные поля ψμ(τ, σ), удовлетворяющие условиям периодичности (R-сектор) или анти-периодичности (NS-сектор).
Формулировка Грина–Шварца (GS) основана на целевой суперсимметрии и использует т.н. майорановские спиноры в десяти измерениях. Эта формулировка более естественно инкапсулирует целевую SUSY, но сложнее для квантования из-за необходимости ручной фиксации κ-симметрии.
RNS-подход более удобен для изложения спектра и проведения петлевых вычислений, тогда как GS-формулировка дает более прозрачную структуру суперсимметрии и важна для построения D-бран и дуальностей.
Подход, развивающий RNS-формулировку, заключается в интерпретации теории струн как двумерной конформной теории поля (2D CFT), со всеми вытекающими свойствами — наличием операторного алгебра, первичных и вторичных полей, и центрального заряда. Критичность теории обеспечивается занулением аномалий Вирасоро-алгебры.
Суперструнная теория классифицируется на пять согласованных форм:
Все пять согласованных суперструнных теорий оказались связаны между собой дуальностями — зеркальными преобразованиями, связывающими сильную и слабую связи (S-дуальность), а также малые и большие радиусы (T-дуальность).
Это привело к возникновению М-теории — 11-мерной теории, включающей мембраны (M2) и 5-браны (M5), чьими предельными случаями являются упомянутые суперструнные теории. Формулировка М-теории пока не завершена, но известно, что при компактификации на окружности она переходит в IIA-теорию, а при компактификации на интервал — в гетеротическую E₈×E₈.
Одной из нековариантных, но глубоко информативных формулировок теории струн является матричная теория (Matrix Theory), предложенная в виде BFSS-модели. В этой формулировке фундаментальными объектами являются матрицы Xi(t), интерпретируемые как координаты D0-бран в 11-мерной М-теории.
Лагранжиан BFSS-модели:
$$ L = \frac{1}{2g_s l_s} \text{Tr} \left( D_t X^i D_t X^i + \frac{1}{2} [X^i, X^j]^2 + \text{фермионные члены} \right) $$
Эта формулировка основана на суперсимметричной квантовой механике с матричными степенями свободы. В пределе большого числа D0-бран (большой ранг матриц) теория становится эквивалентной М-теории в рамках компактного круга.
Одной из наиболее мощных современных формулировок теории струн является голографическая двойственность, особенно в форме соответствия AdS/CFT, предложенного Мальдасеной. Она утверждает эквивалентность между:
Это соответствие является примером дуальности гравитации и теории поля: квантовая теория гравитации в пространстве с границей эквивалентна безгравитационной теории поля на этой границе. AdS/CFT-подход оказался исключительно плодотворным для изучения чёрных дыр, термодинамики струн, и динамики сильно связанной материи, в том числе в неконформных и несуперсимметричных случаях.
Альтернативный формализм представляет топологическая теория струн, в которой изначально отсутствует физическое пространство-время. Она строится на топологически инвариантных CFT и нацелена на вычисление математических инвариантов — например, Громова–Виттена и инвариантов Дональдсона–Томаса.
Топологические струны играют ключевую роль в понимании малых BPS-чёрных дыр, инвариантов Калаби–Яу многообразий и модулярной структуры пространств модулей. Существуют два основных типа:
Эти модели связаны зеркальной симметрией и позволяют извлекать важные сведения о геометрии пространств компактфикаций.
Современные подходы также включают алгебраическую геометрию и категориальные методы, такие как категория Фукуи, категория производных когерентных пучков, категория D-бран, играющих роль в гомологической зеркальной симметрии.
Такие формулировки, несмотря на абстрактность, обеспечивают мощные вычислительные методы и глубокие математические связи между различными аспектами теории струн и алгебраической геометрии.
Ключевым объединяющим фактором между формулировками теории струн выступают двойственности:
Эти двойственности обеспечивают эквивалентность между формулировками, позволяя использовать наиболее удобную в каждом конкретном контексте. Они также указывают на существование глубокой, универсальной теории, лежащей в основе всех наблюдаемых форм — предположительно М-теории.