Ренормализационная группа (РГ) представляет собой мощный теоретический инструмент, позволяющий изучать поведение физических теорий при изменении масштаба энергии. Она особенно важна в квантовой теории поля (КТП), где параметры теории — такие как постоянные связи и массы — зависят от выбранного масштаба. Эта зависимость приводит к концепции течения параметров теории при изменении масштаба, что формализуется уравнениями РГ.
В КТП наблюдается ключевое свойство: физические величины зависят от масштаба энергии процесса, на котором они измеряются. Взаимодействия, которые на низких энергиях кажутся слабыми, могут усиливаться на высоких энергиях, и наоборот. Такая зависимость объясняется вкладом виртуальных частиц в петлях диаграмм, что требует процедуры ренормализации для устранения ультрафиолетовых (УФ) расходимостей.
Процедура ренормализации требует введения масштаба отсечки (cutoff) или ренормализационного масштаба μ, при котором фиксируются параметры теории. Но при изменении этого масштаба необходимо компенсировать изменение значений параметров, чтобы сохранялись наблюдаемые величины. Это ведёт к появлению уравнений РГ, описывающих, как параметры теории изменяются с μ.
Рассмотрим n-точечную функцию Грина G(n)(pi, g(μ), μ), зависящую от внешних импульсов pi, масштаба ренормализации μ и эффективной постоянной связи g(μ). Требование независимости физического результата от выбора μ приводит к уравнению Каллена–Симанзика:
$$ \left[ \mu \frac{\partial}{\partial \mu} + \beta(g) \frac{\partial}{\partial g} + n \gamma(g) \right] G^{(n)}(p_i, g(\mu), \mu) = 0 $$
где:
Это уравнение отражает, как меняется функция Грина при масштабной трансформации, и связывает масштаб с изменением параметров теории.
Бета-функция определяет, как константа связи зависит от масштаба энергии. Важнейшие сценарии:
Фиксированные точки классифицируются:
Физический смысл фиксированных точек — существование теорий, обладающих масштабной или конформной инвариантностью на определённых энергетических масштабах.
В КЭД бета-функция имеет положительное значение на низких энергиях:
$$ \beta(e) = \frac{e^3}{12\pi^2} + \mathcal{O}(e^5) $$
Это указывает на логарифмический рост константы связи с энергией. Теоретически при μ → ∞ значение e(μ) → ∞, что приводит к ландо-полю — сингулярности, за пределами которой теория становится неприменимой. Однако в реальности КЭД остаётся применимой вплоть до масштаба объединения взаимодействий.
КХД демонстрирует пример асимптотической свободы: на высоких энергиях взаимодействие между кварками ослабевает. Это проявляется в отрицательной бета-функции на малых g:
$$ \beta(g) = -\frac{g^3}{(4\pi)^2} \left( \frac{11}{3} N_c - \frac{2}{3} N_f \right) + \dots $$
где Nc — число цветов, Nf — число ароматов. При $N_f < \frac{11}{2} N_c$, теория асимптотически свободна.
Это фундаментальное свойство КХД объясняет конфайнмент и рассеяние на коротких расстояниях — кварки ведут себя как свободные частицы в глубоконеупругих процессах (DIS).
Интегрируя уравнение:
$$ \mu \frac{d g}{d \mu} = \beta(g) $$
получаем масштабную зависимость константы связи. Для КЭД:
$$ \alpha(\mu) = \frac{\alpha(\mu_0)}{1 - \frac{\alpha(\mu_0)}{3\pi} \log(\mu/\mu_0)} $$
Аналогично для КХД:
$$ \alpha_s(\mu) = \frac{12\pi}{(33 - 2N_f) \log(\mu^2/\Lambda_{\text{QCD}}^2)} $$
где ΛQCD — характерный масштаб конфайнмента. Эти выражения отражают ключевую физическую идею: параметры теории зависят от энергетического масштаба, но наблюдаемые величины должны быть инвариантны.
В теории критических явлений, особенно в конденсированной материи, ренормализационная группа применяется к изучению фазовых переходов второго рода. Пространство параметров теории (константы связи, массы и т.д.) можно представить как множество точек, а уравнения РГ определяют поток — направление изменения параметров при изменении масштаба.
Переходы между различными режимами описываются траекториями РГ в пространстве параметров. При приближении к фиксированной точке теория становится инвариантной к масштабным преобразованиям. Это объясняет универсальность критических индексов, независимость от микроскопических деталей и важность симметрий.
РГ предоставляет естественную основу для построения эффективных теорий: при удалении высокоэнергетических степеней свободы (интегрировании по ним) мы получаем новую теорию, применимую на низких энергиях. Это приводит к концепции операторов с разной размерностью:
Такой подход лежит в основе современных эффективных полей: от теории бозона Хиггса до хиральной динамики и теорий гравитации.
Если теория достигает фиксированной точки с β(g) = 0, она становится масштабно-инвариантной, а иногда и конформно-инвариантной. Это существенно сказывается на структуре теории: конформные теории поля (КТП) являются особенно симметричными и применимы как в статистике (например, модели Изинга), так и в теории струн и AdS/CFT-соответствии.
В этих теориях ренормализационная группа трактуется как часть более общей группы симметрий — группы конформных преобразований. Это позволяет использовать мощные инструменты, такие как операторное расширение (OPE), спектральный анализ размерностей операторов, и конформные блоки.
РГ-принцип может быть обобщён на гравитационные теории. Подход, известный как асимптотическая безопасность (Weinberg), предполагает, что гравитация может быть квантуемой, если существует УФ-фиксированная точка с конечным числом релевантных направлений.
Также РГ-принципы находят применение в голографии — где течение в пятом измерении анти-де-Ситтера трактуется как ренормализационная эволюция теории на границе.
Таким образом, ренормализационная группа является не просто техническим инструментом устранения расходимостей, но фундаментальной концепцией, позволяющей понять поведение квантовых теорий на различных энергетических масштабах, связи между различными теориями и универсальность физических явлений.