Класс солитонных решений в теории поля
Солитонные решения являются особым классом конфигураций поля, обладающих устойчивостью и локализованностью. Они представляют собой нелинейные возбуждённые состояния, сохраняющие форму при эволюции и, в отличие от обычных волн, устойчивы к распространению и рассеянию. В теоретической физике и физике элементарных частиц солитоны играют ключевую роль в изучении нетривиальных топологических и динамических структур.
Солитон можно понимать как решение уравнений движения, характеризующееся нетривиальной топологической структурой. Такие конфигурации не могут быть сведены к вакуумному состоянию непрерывным образом — это проявление топологической стабильности. Пусть поле ϕ(x) принимает значения в пространстве конфигураций, характеризуемом некоторым многообразием M. Если граничные условия на пространстве (или пространственно-временной гиперповерхности) фиксируют значение поля на бесконечности, можно классифицировать все возможные конфигурации по гомотопическим классам отображения Sn → M.
Топологическое число, связанное с таким отображением, например число обмотки, служит инвариантом, характеризующим данный солитон. Это делает невозможным разрушение солитона в вакуум без преодоления бесконечного энергетического барьера. Так, в одномерной модели с двумя вакуумами возникает kink-солитон, характеризуемый целым числом, обозначающим переход между вакуумными значениями.
Один из наиболее известных примеров одномерного солитона — kink в модели с потенциалом типа ϕ4. Лагранжиан имеет вид:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{\lambda}{4} (\phi^2 - v^2)^2. $$
Минимумы потенциала находятся при ϕ = ±v. Стационарное уравнение Эйлера–Лагранжа для одномерной конфигурации ϕ = ϕ(x) принимает форму:
$$ \frac{d^2 \phi}{dx^2} = \lambda \phi (\phi^2 - v^2). $$
Решением с граничными условиями ϕ(−∞) = −v, ϕ(+∞) = +v является kink:
$$ \phi(x) = v \tanh\left(\frac{\sqrt{\lambda} v x}{\sqrt{2}}\right). $$
Это решение описывает топологический дефект, переходящий от одного вакуума к другому. Его энергия конечна, и он устойчив по отношению к малым возмущениям.
Другой классический пример — уравнение sine-Gordon:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \frac{m^2}{\beta^2} \cos(\beta \phi). $$
Оно допускает солитонные решения:
$$ \phi(x, t) = \frac{4}{\beta} \arctan\left[\exp\left(\gamma m (x - v t)\right)\right], $$
где $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2}$ — лоренцовский фактор. Солитоны в этой модели сохраняют свою форму и скорость при столкновениях, отражая интегрируемость модели.
Во многих теориях поля существует специальный предел, при котором уравнения движения допускают более простой анализ. Это — так называемый предел Богомольного–Присадского–Соммерфильда (BPS). В этом случае полные уравнения движения заменяются системой первого порядка, называемой BPS-уравнениями. Эти решения минимизируют энергию в фиксированном топологическом секторе и сохраняются при включении суперсимметрии.
Для вышеупомянутой ϕ4-модели BPS-уравнение имеет вид:
$$ \frac{d\phi}{dx} = \pm \sqrt{\frac{\lambda}{2}} (\phi^2 - v^2). $$
Его решение совпадает с kink-решением. При этом энергия записывается в виде:
$$ E = \left|\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{d\phi}{dx} \sqrt{2 V(\phi)}\right|, $$
что достигается, если удовлетворены BPS-уравнения.
В более высоких размерностях важнейшую роль играют такие солитонные объекты, как вихри Абрикосова–Нильсена–Олесена, скирмионы и монополи.
Абрикосовские вихри. В теории Гинзбурга–Ландау с калибровочным полем возникает вихревое решение, где скалярное поле ϕ обнуляется в центре, а магнитное поле локализовано в трубке. Вихри имеют топологический заряд — число обмотки фазы скалярного поля:
$$ n = \frac{1}{2\pi} \oint d\theta \, \frac{d}{d\theta} \arg \phi. $$
Эти конфигурации реализуются в сверхпроводниках II рода.
Скирмионы. В модели Скирма поле U(x) ∈ SU(2) определяет конфигурации в 3-пространстве, с асимптотикой U(|x| → ∞) → ????. Таким образом, решения классифицируются отображениями S3 → SU(2) ≃ S3, и топологический заряд соответствует барионному числу. Энергетическая плотность модели:
$$ \mathcal{L} = \frac{f_\pi^2}{4} \text{Tr} (\partial_\mu U^\dagger \partial^\mu U) + \frac{1}{32e^2} \text{Tr} \left[ U^\dagger \partial_\mu U, U^\dagger \partial_\nu U \right]^2. $$
Скирмионы служат моделью для барионов в низкоэнергетической ядерной физике.
Монополи. В модели Георга–Глазоу скалярное поле ϕa векторно по группе SU(2), и после спонтанного нарушения симметрии формируется конфигурация с ненулевым магнитным зарядом — монополь ’т Хоофта–Полякова. Конфигурация поля:
$$ \phi^a = v h(r) \hat{x}^a, \quad A_i^a = \epsilon_{aij} \frac{x^j}{gr^2} (1 - k(r)), $$
где h(r) и k(r) — профили, удовлетворяющие уравнениям движения. Такие монополи являются важным элементом в анализе дуальности в теориях Янга–Миллса и могут интерпретироваться как элементарные возбуждения в дуальных теориях.
Особое значение солитоны приобретают в теориях с калибровочной симметрией. Их существование указывает на нетривиальную структуру вакуумного многообразия. Например, в теории Янга–Миллса с топологическим числом Черна–Саймонса возникает инстантон — евклидова конфигурация поля с конечным действием, описывающая туннельный переход между вакуумами.
Для SU(2)-теории в евклидовом пространстве решение инстантона имеет вид:
$$ A_\mu^a(x) = \frac{2 \eta_{a\mu\nu} x^\nu}{x^2 + \rho^2}, $$
где ηaμν — символы ’т Хоофта. Топологический заряд такого решения:
$$ Q = \frac{1}{16\pi^2} \int d^4x \, \text{Tr} (F_{\mu\nu} \tilde{F}^{\mu\nu}) \in \mathbb{Z}, $$
характеризует число туннелирований. Инстантоны играют важнейшую роль в нарушении аксиальной симметрии и в механизме Утиёва–Вендена.
Солитонные решения обладают внутренними модами возбуждения, и их можно квантовать как коллективные координаты. Например, в случае kink-а возможны флуктуации положения центра, соответствующие трансляционной нулевой моде. Квантование таких мод приводит к эффективной динамике квазичастицы.
Кроме того, при рассмотрении взаимодействий солитонов между собой возникает нетривиальная многочастичная динамика. В интегрируемых теориях (как в sine-Gordon) сталкивающиеся солитоны сохраняют свои характеристики, тогда как в неинтегрируемых теориях возможны слияние, аннигиляция или образование связанных состояний.
В суперсимметричных теориях полевая конфигурация может сохранять часть суперсимметрии — это BPS-состояния. Они важны для неpertурбативного анализа спектра и играют ключевую роль в дуальностях (Seiberg–Witten, AdS/CFT).
В теориях суперструн солитонам соответствуют D-браны — объекты, на которых заканчиваются струны. D-браны можно рассматривать как солитоны в эффективной теории низких энергий, описываемой калибровочными и скалярными полями. Их динамика подчиняется нелинейным действиям типа Борн–Инфелда, и они классифицируются по когомологиям пространства-таргета.
Солитонные решения образуют связующее звено между топологией, геометрией и квантовой теорией поля. Их присутствие указывает на богатство структуры теории, на многозначность вакуума и возможность нетривиальных неточечных объектов, фундаментальных для современного понимания физики частиц и взаимодействий.