Фундаментальный вклад Эмми Нётер в формализм современной теоретической физики заключается в строгом математическом установлении связи между непрерывными симметриями действия и законами сохранения. Рассмотрим лагранжеву механикию или теорию поля, где динамика описывается варьированием действия:
S[ϕ] = ∫ℒ(ϕ, ∂μϕ, xμ) d4x
Если действие инвариантно при некотором непрерывном преобразовании (глобальном или локальном), то существует соответствующий сохраняющийся ток.
Пусть лагранжиан инвариантен при бесконечно малом преобразовании:
δxμ = ϵ Ξμ(ϕ, x), δϕ = ϵ Δ(ϕ, ∂μϕ, x)
Тогда вариация действия:
$$ \delta S = \int \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta (\partial_\mu \phi) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^\mu} \delta x^\mu \right] d^4x $$
Если вариация действия нулевая (или сводится к полному дивергенциальному члену), то выводится сохраняющийся ток:
∂μjμ = 0
где
$$ j^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \Delta - \Xi^\mu \mathcal{L} $$
Это и есть формулировка первой теоремы Нётер.
1. Однородность времени — закон сохранения энергии
Если лагранжиан не зависит явно от времени (или ℒ = ℒ(ϕ, ∂μϕ)), то он инвариантен при трансляциях по времени:
t → t + ϵ
Соответствующий ток Нётер приводит к сохранению энергии:
$$ \frac{dH}{dt} = 0, \quad H = \int d^3x \, T^{00} $$
2. Однородность пространства — закон сохранения импульса
Инвариантность при пространственных трансляциях:
xi → xi + ϵi
влечёт существование сохраняющегося тока, связанного с импульсом:
∂μTμi = 0
3. Изотропность пространства — сохранение момента импульса
Если теория инвариантна относительно вращений, то существует сохраняющийся угловой момент. В тензорной форме:
Jμνρ = xνTμρ − xρTμν
где сохраняется:
∂μJμνρ = 0
4. Глобальные калибровочные симметрии — сохранение заряда
Для комплексного скалярного поля с глобальной U(1) симметрией:
ϕ(x) → eiαϕ(x)
Лагранжиан:
ℒ = ∂μϕ*∂μϕ − m2ϕ*ϕ
инвариантен при таком преобразовании, и соответствующий ток Нётер:
jμ = i(ϕ*∂μϕ − ϕ∂μϕ*)
удовлетворяет уравнению сохранения:
∂μjμ = 0
Сохраняемый заряд:
Q = ∫d3x j0(x)
В теории поля симметрии пространства-времени связаны с тензором энергии-импульса:
$$ T^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial^\nu \phi - g^{\mu\nu} \mathcal{L} $$
который удовлетворяет:
∂μTμν = 0
при инвариантности действия относительно трансляций в пространстве-времени. Это выражение формализует сохранение энергии и линейного импульса в теории поля.
Однако канонический тензор энергии-импульса может быть несимметричным. В теориях, инвариантных при преобразованиях Лоренца, можно использовать процедуру Белифанте для симметризации:
Θμν = Tμν + ∂λXλμν
где Xλμν — антисимметричный по первым двум индексам суперпотенциал, добавляемый без нарушения закона сохранения.
В квантовой теории поля симметрии соответствуют наличию операторов, коммутирующих с гамильтонианом. Заряды, полученные из токов Нётер, становятся операторами:
Q = ∫d3x j0(x)
Если [Q, ℋ] = 0, то оператор Q сохраняется при эволюции системы. В формализме обобщённого сопряжения (LSZ, путь интегралов), сохранение токов отражается в Ward’овских тождеств, которые накладывают строгие условия на структуру вершинных функций и S-матрицы.
Теорема Нётер в классической формулировке применима к глобальным симметриям. В случае локальных симметрий (например, калибровочной инвариантности):
ϕ(x) → eiα(x)ϕ(x)
инвариантность требует введения калибровочных полей (например, фотона для U(1)). В таких случаях сохраняющийся ток существует, но он не приводит к независимому закону сохранения, поскольку симметрия уже встроена в структуру взаимодействия.
В теориях, где симметрия действия не проявляется в вакуумном состоянии, говорят о спонтанном нарушении симметрии. В этом случае ток Нётер остаётся сохраняющимся:
∂μjμ = 0
но вакуум не инвариантен под действием соответствующего заряда. Следствие этого — появление безмассовых бозонов Голдстоуна в случае глобальных симметрий и механизм Хиггса в случае локальных симметрий.
Второй вариант теоремы Нётер утверждает, что при наличии локальной (гауссовой) симметрии вариация действия тождественно равна нулю даже без использования уравнений движения, и существует набор тождеств (тождества Нётер второго рода), выражающих функциональные зависимости между уравнениями движения. Это фундаментально важно при квантовании калибровочных теорий (например, BRST-квантование, построение лагранжианов с фиксацией калибровки).
Нётеровские заряды удовлетворяют алгебраическим соотношениям, индуцированным симметриями теории:
[Qa, Qb] = ifabcQc
где fabc — структурные константы соответствующей группы Ли. Эти соотношения играют ключевую роль в построении представлений симметрий, классификации частиц (по массам и спинам) и в построении теорий Великого объединения.
Современные теории элементарных частиц, в первую очередь Стандартная модель, построены на калибровочных симметриях групп SU(3) × SU(2) × U(1). Все взаимодействия и структура лагранжиана выводятся из требований калибровочной инвариантности, а сохранение физических величин — из теоремы Нётер. Сохраняющиеся токи, такие как барионный и лептонный токи, играют ключевую роль в проверке симметрий в экспериментах. Слом или аномалии этих симметрий указывают на новую физику или уточнение фундаментальных взаимодействий.