Компактные и некопактные дополнительные измерения в теории элементарных частиц
В рамках Стандартной модели физики элементарных частиц фундаментальные взаимодействия описываются как результат обмена калибровочными бозонами, действующими в четырёхмерном пространстве Минковского. Однако Стандартная модель не обеспечивает объяснение ряда феноменов, таких как иерархия масс, происхождение слабой гравитации, объединение взаимодействий на фундаментальном уровне и структура поколений фермионов.
Введение дополнительных пространственных измерений является одним из направлений, предложенных для расширения Стандартной модели. Концепция не нова: ещё в 1920-х годах в рамках теории Калуцы–Клейна было предпринято объединение гравитации с электромагнетизмом путём добавления пятого измерения. Современные теории с дополнительными измерениями получили мощное развитие в контексте струнной теории, теорий на бранах и моделей типа Randall–Sundrum.
Дополнительные измерения могут быть как компактными, так и некомпактными. Компактные измерения предположительно свернуты в малые размеры (радиус порядка R ∼ 1/MPlanck), поэтому они недоступны при обычных энергиях. В модели Калуцы–Клейна пространственно-временной многообразие имеет структуру ℳ4 × ????d, где ℳ4 — четырёхмерное пространство Минковского, а ????d — компактное многообразие дополнительной размерности d.
Противоположный подход реализован в моделях с некомпактными, но искривлёнными измерениями (например, Randall–Sundrum), где гравитация локализована на бране, а дополнительные измерения формально бесконечны, но эффективно не наблюдаются.
Пусть пространство имеет D = 4 + δ измерений, где δ — число дополнительных пространственных измерений. Поля в таком пространстве можно разложить в ряд по модам Калуцы–Клейна:
Φ(x, y) = ∑nϕn(x)einy/R
где y — координаты дополнительных измерений, а ϕn(x) — четырёхмерные поля с массами:
$$ m_n^2 = m_0^2 + \frac{n^2}{R^2} $$
Таким образом, даже если исходное D-мерное поле безмассово, в 4D возникает бесконечный набор массивных мод. Для наблюдателя в 4D эти моды проявляются как новые частицы с возрастающей массой. Радиус компактификации R определяет масштаб, на котором начинают проявляться эффекты дополнительных измерений.
Добавление дополнительных измерений должно быть совместимо с унитарностью, причинностью и экспериментальными ограничениями. Особенно важно, чтобы моды Калуцы–Клейна не приводили к нарушению известной феноменологии при низких энергиях. Это приводит к жёстким ограничениям на размер дополнительных измерений. Например, эксперименты по проверке закона гравитации на субмиллиметровых масштабах ограничивают радиус компактификации R ≲ 10−4 м для двух дополнительных измерений.
В модели Аркане-Антону-Гийама-Димопулоса (ADD) гравитация может распространяться в D = 4 + δ измерениях, в то время как все остальные поля остаются локализованными на 3-мерной бране. Таким образом, слабость гравитации объясняется тем, что её силовые линии «расплываются» по объёму дополнительного пространства. Гравитационная постоянная в 4D связана с фундаментальной D-мерной гравитационной постоянной:
MPl2 ∼ MD2 + δRδ
При MD ∼ 1 ТэВ можно достичь видимой слабости гравитации при достаточно большом R, что потенциально делает гравитационные эффекты измеримыми на коллайдерах.
Квантование гравитона в такой модели даёт огромное количество мод Калуцы–Клейна, которые могут проявляться как почти непрерывный спектр слабосвязанных резонансов на коллайдере, ведущих к, например, пропаже энергии в конечных состояниях.
В альтернативной модели Randall–Sundrum (RS1) рассматривается пятый измерение как интервал между двумя бранами в пространстве с метрикой:
ds2 = e−2k|y|ημνdxμdxν − dy2
Фактор e−2k|y| экспоненциально подавляет массы и куплинги на бране, расположенной на y = πR, объясняя огромную разницу между планковским и электрослабым масштабами. В этой модели дополнительное измерение компактно, но сильно искривлено. RS-модель также предсказывает спектр массивных гравитонов, потенциально видимых на коллайдере.
В многомерных теориях важной задачей является объяснение, почему фермионы имеют разную массу и почему три поколения. В рамках моделей с дополнительными измерениями часто используется механизм локализации полей. Пусть волновые функции различных фермионов располагаются в пятом измерении на разных расстояниях от локализации бозона Хиггса. Тогда перекрытие их волновых функций с Хиггсом определяет их массу:
mf ∼ ∫dy ψf(y) ψH(y)
Таким образом, даже при одинаковом исходном лагранжиане можно объяснить иерархию масс как следствие геометрии.
Модели с дополнительными измерениями порождают целый спектр экспериментальных следствий:
Данные LHC (в частности, ATLAS и CMS) установили нижние границы на масштаб дополнительного пространства в ADD-модели порядка нескольких ТэВ, а в модели RS — на массу первого гравитонного возбуждения выше 4–5 ТэВ.
Дополнительные измерения являются неотъемлемой частью суперструнных теорий. В струнной теории 10 или 11 измерений необходимы для математической непротиворечивости. Компактное пространство Калуцы–Клейна обычно берётся в виде шестимерного компактного многообразия Калаби–Яу. Разные способы компактификации приводят к различным эффективным теориям в 4D, что делает выбор топологии и геометрии ???? предметом активных исследований.
Если масштаб дополнительных измерений находится в диапазоне до нескольких ТэВ, то есть надежда на их обнаружение при будущих столкновениях на высоких энергиях — как на HL-LHC, так и на планируемых ускорителях нового поколения (FCC, CLIC, CEPC). Важно также отметить, что наличие дополнительных измерений может менять структуру РГ-эволюции констант связи и вносить вклад в унификацию взаимодействий при высоких энергиях.
Теории с дополнительными измерениями предоставляют уникальную платформу для соединения Стандартной модели с квантовой гравитацией, открывая путь к более фундаментальной теории взаимодействий.