Вторичное квантование

Формализм вторичного квантования

Вторичное квантование представляет собой формализм, используемый для описания систем с переменным числом частиц, что особенно важно в теории квантовых полей и физике элементарных частиц. В отличие от первого квантования, где волновая функция описывает состояние одной или нескольких фиксированных частиц, во вторичном квантовании центральную роль играют операторы рождения и уничтожения, действующие в фоковском пространстве состояний.

Фоковское пространство и базисные состояния

Фоковское пространство ℱ — это гильбертово пространство, состоящее из суперпозиций состояний с различным числом частиц. Базисные векторы такого пространства имеют вид:

|n₁, n₂, n₃, …⟩,

где n_i — число частиц в квантовом состоянии i. Для бозонов n_i ∈ ℕ₀, для фермионов — n_i = 0, 1, в силу принципа Паули.

Операторы рождения и уничтожения

Операторы рождения a_i^† и уничтожения a_i действуют следующим образом:

• Для бозонов:

  [a_i, a_j^†] = δ_ij,  [a_i, a_j] = [a_i^†, a_j^†] = 0,

  $$ a_i^\dagger |n_1, \dots, n_i, \dots \rangle = \sqrt{n_i+1} |n_1, \dots, n_i+1, \dots \rangle, $$

  $$ a_i |n_1, \dots, n_i, \dots \rangle = \sqrt{n_i} |n_1, \dots, n_i-1, \dots \rangle. $$

• Для фермионов:

  {a_i, a_j^†} = δ_ij,  {a_i, a_j} = {a_i^†, a_j^†} = 0,

  a_i^†|0⟩=|1_i⟩,  a_i|1_i⟩=|0⟩.

Здесь квадратные скобки обозначают коммутатор, а фигурные — антикоммутатор.

Полевая интерпретация

Переход от дискретного набора уровней к непрерывному описанию осуществляется введением операторов поля. Например, в нерелятивистской теории бозонов с координатным представлением вводится оператор:

ψ̂(x) = ∑_ia_iϕ_i(x),  ψ̂^†(x) = ∑_ia_i^†ϕ_i^*(x),

где ϕ_i(x) — полный ортонормированный базис одночастичных состояний.

Операторы ψ̂(x) и ψ̂^†(x) подчиняются соотношениям:

• Бозоны:

  [ψ̂(x), ψ̂^†(y)] = δ(x − y),

• Фермионы:

  {ψ̂(x), ψ̂^†(y)} = δ(x − y).

Таким образом, оператор поля уничтожает (создаёт) частицу в точке x.

Гамильтониан во вторично квантованной форме

Рассмотрим пример нерелятивистской системы с кинетической энергией и взаимодействием:

$$ \hat{H} = \int d^3x\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{x}) \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \right) \hat{\psi}(\mathbf{x}) + \frac{1}{2} \int d^3x\, d^3y\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{x}) \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{y}) V(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \hat{\psi}(\mathbf{y}) \hat{\psi}(\mathbf{x}). $$

Первая часть отвечает за кинетическую энергию, вторая — за взаимодействие между парами частиц.

Вторичное квантование в теории квантовых полей

Во взаимодействующей квантовой теории поля поля представляют собой операторы, зависящие от пространства и времени:

$$ \hat{\phi}(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_p}} \left( a(\mathbf{p}) e^{-ipx} + a^\dagger(\mathbf{p}) e^{ipx} \right), $$

где x = (t, x), а px = E_pt − p ⋅ x.

Такое представление соответствует решению уравнения Клейна–Гордона в виде разложения по плоским волнам. Операторы a(p) и a^†(p) интерпретируются как уничтожение и создание частицы с импульсом p.

Для фермионных полей (например, для уравнения Дирака) поле записывается как:

$$ \psi(x) = \sum_s \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_p}} \left( b_s(\mathbf{p}) u_s(\mathbf{p}) e^{-ipx} + d_s^\dagger(\mathbf{p}) v_s(\mathbf{p}) e^{ipx} \right), $$

где b_s и d_s — операторы уничтожения фермиона и антифермиона, соответственно, а u_s, v_s — спиноры.

Частицы как возбуждения поля

Вторичное квантование приводит к концепции поля как основного объекта теории, а частицы — как квазиклассических возбуждений этих полей. Создание частицы соответствует действию оператора рождения на вакуум:

|p⟩ = a^†(p)|0⟩.

Таким образом, вакуумное состояние |0⟩ — это состояние без частиц, и вся физика строится на операциях с ним.

Статистические свойства и симметрии

Формализм вторичного квантования автоматически включает статистику частиц:

• Коммутаторы приводят к симметричным волновым функциям (бозоны),
• Антикоммутаторы — к антисимметричным (фермионы).

Это обеспечивает выполнение принципа неразличимости и, для фермионов, принципа запрета Паули.

Симметрии Гамильтониана, такие как трансляции, вращения, зарядовая симметрия и локальные калибровочные преобразования, находят отражение в преобразованиях операторов поля, что лежит в основе построения лагранжианов и теорий взаимодействия.

Применение к квантовой электродинамике и другим теориям

Во вторично квантованной квантовой электродинамике (КЭД) фермионное поле описывает электроны и позитроны, а бозонное поле A_μ(x) — фотон. Их взаимодействие описывается лагранжианом:

$$ \mathcal{L} = \bar{\psi}(i \gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}, $$

где D_μ = ∂_μ + ieA_μ. При квантовании все поля становятся операторами, а взаимодействия реализуются как перестановки операторов рождения и уничтожения, включаемые в диаграммы Фейнмана.

Формализм вторичного квантования является необходимым инструментом при анализе всех фундаментальных взаимодействий в рамках Стандартной модели, включая КХД, слабое и электромагнитное взаимодействия.