Адиабатические квантовые вычисления

Адиабатические квантовые вычисления (АВК) представляют собой парадигму квантовых вычислений, основанную на плавном эволюционном переходе квантовой системы из начального состояния в состояние, кодирующее решение задачи. В отличие от универсальной схемы гейтовых квантовых компьютеров, здесь основное внимание уделяется динамике системы под действием постепенно меняющегося гамильтониана.

Пусть квантовая система описывается гамильтонианом H(t), который изменяется во времени t ∈ [0, T]. В адиабатическом подходе он записывается как:

H(t) = (1 − s(t))H₀ + s(t)H_P,

где:

• H₀ — начальный гамильтониан с известным и легко реализуемым основным состоянием |ψ₀⟩,
• H_P — гамильтониан задачи, минимальное собственное значение которого соответствует решению задачи,
• s(t) — плавная функция времени, монотонно возрастающая от 0 до 1, обеспечивающая адиабатическую эволюцию.

Ключевой момент: при достаточно медленном изменении H(t) система остаётся в основном состоянии, следуя за его изменением. Это следует из адиабатической теоремы квантовой механики, которая утверждает, что переходы между энергетическими уровнями пренебрежимо малы, если эволюция достаточно медленная относительно минимального энергетического разрыва Δ_min между основным и первым возбужденным состояниями:

$$T\gg \frac{\underset{t}{max}|⟨{\psi }_1(t)|\frac{dH}{dt}|{\psi }_0(t)⟩|}{{\mathrm{\Delta }}_{min}^2}.$$

Таким образом, скорость эволюции ограничена характеристиками энергетического спектра, что напрямую влияет на время вычислений.

---

Формализация адиабатических алгоритмов

Адиабатические квантовые алгоритмы часто применяются для решения задач оптимизации и задач класса NP-полных. Общий алгоритм строится следующим образом:

1. Выбор начального гамильтониана H₀. Обычно выбирают гамильтониан, чьё основное состояние легко подготовить, например, суперпозицию всех базисных состояний кубитов.

2. Определение гамильтониана задачи H_P. Этот гамильтониан кодирует задачу в своей низшей энергии. Например, для задачи максимального клика в графе G минимальное собственное значение H_P соответствует максимальной клике.

3. Выбор функции перехода s(t). Оптимизация формы функции s(t) позволяет сократить общее время вычислений и снизить вероятность переходов в возбужденные состояния.

4. Адиабатическая эволюция. Квантовая система эволюционирует под действием гамильтониана H(t) от t = 0 до t = T. После окончания эволюции производится измерение системы, результат которого с высокой вероятностью соответствует решению задачи.

Ключевой аспект: эффективность адиабатического алгоритма определяется энергетическим разрывом Δ(t). Если разрыв минимален, то система должна эволюционировать очень медленно, иначе вероятность ошибки резко возрастает.

---

Примеры задач и гамильтонианов

• Задача максимального клика и SAT-проблемы: составление гамильтониана H_P, где каждое запрещенное условие добавляет положительный вклад в энергию, а оптимальные решения соответствуют нулевой энергии.

• Измерение минимальной энергии спиновых систем (Ising model): гамильтониан задачи может быть задан как:

H_P = ∑_i < jJ_ijσ_i^zσ_j^z + ∑_ih_iσ_i^z,

где σ_i^z — Паулиевские матрицы, J_ij и h_i — коэффициенты, соответствующие взаимодействиям и внешним полям.

• Квантовая аппроксимация комбинаторных задач: для сложных графов и сетевых структур aдиабатический подход позволяет находить приближенные решения за время, полиномиальное относительно размера системы, хотя точная эффективность зависит от спектрального разрыва.

---

Технические и физические аспекты реализации

1. Кубиты и их контроль. Для реализации адиабатических вычислений требуются квантовые системы с точной управляемой динамикой, например:

   • сверхпроводящие кубиты,
   • ионные ловушки,
   • квантовые точки и спиновые системы.

2. Температурная декогеренция. Адиабатическая эволюция чувствительна к внешнему шуму. Чтобы минимизировать переходы в возбужденные состояния, необходимы условия низкой температуры и низкий уровень шума.

3. Форма функции перехода s(t). Исследования показывают, что нелинейные функции s(t), замедляющие эволюцию около минимального разрыва, повышают вероятность успеха.

4. Масштабируемость. На практике увеличение числа кубитов приводит к уменьшению минимального энергетического разрыва, что ограничивает скорость вычислений и накладывает требования к времени эволюции.

---

Сравнение с гейтовыми квантовыми вычислениями

Характеристика	Адиабатические вычисления	Гейтовые вычисления
Основной принцип	Плавная эволюция гамильтониана	Последовательное применение квантовых гейтов
Чувствительность к шуму	Высокая	Высокая, но ошибки локализованы
Тип задач	Оптимизация, NP-проблемы	Универсальный, любые квантовые алгоритмы
Время вычисления	Зависит от минимального разрыва	Зависит от глубины схемы и коррекции ошибок
Реализация	Сверхпроводники, ионы	Сверхпроводники, ионы, фотонные кубиты

Ключевой вывод: АВК не всегда быстрее гейтовых алгоритмов, но для специфических задач оптимизации может обеспечить значительное ускорение по сравнению с классическими алгоритмами.

---

Проблемы и ограничения

• Малый энергетический разрыв приводит к необходимости длинного времени эволюции, что ограничивает практическую масштабируемость.
• Шум и декогеренция снижают вероятность успешного результата.
• Оптимизация функции s(t) требует знания спектральных свойств системы, что не всегда доступно.
• Неуниверсальность: АВК не заменяет универсальные квантовые вычисления, а является специализированным инструментом.