Энтропия Шеннона и ее физические интерпретации

Энтропия Шеннона H является фундаментальной мерой неопределённости или информации, содержащейся в случайной величине. Для дискретной случайной величины X, принимающей значения x_i с вероятностями p_i, энтропия определяется формулой:

H(X) = −∑_ip_ilog p_i,

где логарифм может быть взят по основанию 2 (бит), по основанию e (натуральная единица информации, нэт) или по основанию 10 (декадический логарифм).

Ключевой момент: энтропия максимальна, когда все исходы равновероятны, и минимальна, когда исход предопределён с вероятностью 1.

Энтропия Шеннона не просто математическая абстракция: она обладает глубокой физической интерпретацией и тесно связана с термодинамической энтропией Больцмана и с информационными процессами в физических системах.

---

Связь с термодинамикой

В статистической механике термодинамическая энтропия S определяется через число микросостояний Ω:

S = k_Bln Ω,

где k_B — постоянная Больцмана. Рассмотрим распределение вероятностей p_i для микросостояний системы. В этом случае можно обобщить энтропию Больцмана:

S = −k_B∑_ip_iln p_i.

Сравнение с формулой Шеннона показывает прямую аналогию: энтропия Шеннона измеряет среднюю “неопределённость” системы, выраженную через вероятности её микросостояний.

Физический смысл: энтропия Шеннона количественно описывает, сколько информации необходимо для описания состояния системы с заданной вероятностной структурой. Чем выше неопределённость (энтропия), тем больше информации требуется для точного описания состояния.

---

Энтропия и информация

Энтропия Шеннона часто интерпретируется как мера “информационного содержания” системы. Если принять, что информация — это снижение неопределённости, то изменение энтропии при получении нового сообщения X можно трактовать как количество информации:

I(X) = H_до − H_после.

Пример: в квантовой физике измерение квантовой системы уменьшает её энтропию по Шеннону, поскольку часть неопределённости устраняется, что эквивалентно получению информации о системе.

---

Энтропия и вероятность больших отклонений

Энтропия играет фундаментальную роль в теории вероятности и статистической физике, особенно при изучении больших отклонений. Вероятность редких событий экспоненциально уменьшается с ростом числа частиц N:

P(редкое событие) ∼ e^−NI(x),

где I(x) — функционал, связанный с энтропией. Этот подход позволяет связать макроскопические наблюдаемые величины с микроуровневыми распределениями и их информационной структурой.

Ключевой момент: энтропия является мерой «редкости» состояний системы и определяет масштаб вероятности крупных флуктуаций.

---

Энтропия Шеннона в информационной физике

В контексте физики информации энтропия Шеннона служит основой для понимания:

1. Тепловых процессов: энтропийные соотношения связывают работу, тепло и информационные меры. Пример — принцип Ландауэра: удаление одного бита информации требует затрат энергии не менее k_BTln 2.

2. Обмена информацией между системами: взаимная информация I(X; Y) измеряет снижение энтропии одной системы при знании состояния другой:

I(X; Y) = H(X) − H(X|Y).

3. Квантовых систем: квантовая энтропия фон Неймана S(ρ) = −Tr(ρln ρ) обобщает классическую энтропию Шеннона для плотностей вероятности на матрицах плотности, учитывая суперпозиции и запутанность.

---

Геометрическая интерпретация

Энтропия может быть представлена через информационную геометрию: пространство вероятностных распределений образует многообразие с метрикой Фишера. Элементарная мера расстояния между распределениями p(x|θ) и p(x|θ + dθ) задаётся матрицей Фишера:

$$g_{ij}(\theta )=\sum _x\frac{\partial \ln p(x|\theta )}{\partial {\theta }_i}\frac{\partial \ln p(x|\theta )}{\partial {\theta }_j}p(x|\theta ).$$

Физическая интерпретация: изменение энтропии связано с «геометрическим» расстоянием в пространстве вероятностных распределений, что позволяет трактовать информационные потоки и термодинамические преобразования как движения по информационному многообразию.

---

Энтропия и процессы передачи информации

В физике процессов передачи информации энтропия Шеннона выступает фундаментальной величиной:

• Каналы связи: пропускная способность канала C ограничена энтропией источника и уровнем шума H(Y|X):

C = max_p(x)[H(Y) − H(Y|X)].

• Физические системы: аналогично, термодинамическая система с шумом (например, тепловым флуктуационным шумом) имеет ограниченную скорость передачи информации, напрямую связанную с её энтропийными свойствами.

Ключевой момент: физическая энтропия неразрывно связана с понятием ограничений на передачу, хранение и обработку информации.