Флуктуационно-диссипационная теорема (ФДТ) является фундаментальным результатом неравновесной статистической механики, связывающим микроскопические флуктуации с макроскопическими процессами диссипации. В контексте физики информационных процессов ФДТ приобретает особое значение, так как позволяет количественно описывать, как энергетические и информационные потоки в системе связаны с отклонениями от термодинамического равновесия.
ФДТ формулируется для систем, близких к термодинамическому равновесию. Рассмотрим набор макроскопических переменных {xi}, описывающих состояние системы. В термодинамическом равновесии вероятностное распределение этих переменных определяется функцией Гиббса:
$$ P_{\text{eq}}(\{x_i\}) \propto \exp\left(-\frac{F(\{x_i\})}{k_B T}\right), $$
где F({xi}) — свободная энергия системы, kB — постоянная Больцмана, T — температура.
При малых отклонениях от равновесия динамика переменных описывается уравнениями Ланжевена:
$$ \dot{x}_i = -\sum_j \gamma_{ij} \frac{\partial F}{\partial x_j} + \eta_i(t), $$
где γij — матрица коэффициентов диссипации, а ηi(t) — случайная флуктуация с нулевым средним и корреляцией:
⟨ηi(t)ηj(t′)⟩ = 2kBTγijδ(t − t′).
Ключевой результат ФДТ заключается в том, что амплитуда флуктуаций связана с коэффициентами диссипации, что обеспечивает прямое соответствие между микроскопическими случайными движениями и макроскопическим энергетическим рассеянием.
В физике информационных процессов флуктуации тесно связаны с энтропией и информационными потоками. Если обозначить энтропию системы как S({xi}), то изменения энтропии при малых отклонениях могут быть представлены через матрицу ковариаций флуктуаций:
$$ \langle \delta x_i \delta x_j \rangle = k_B \left( \frac{\partial^2 S}{\partial x_i \partial x_j} \right)^{-1}. $$
Таким образом, флуктуации несут информацию о локальной кривизне энтропийного многообразия и о стабильности системы. Чем выше амплитуда флуктуаций, тем больше система «узнает» о собственном неравновесном состоянии, что напрямую связано с информационной мерой (например, с информационной энтропией Шеннона или Кульбака–Лейблера при рассмотрении распределений вероятностей).
ФДТ позволяет установить количественную связь между диссипативными потоками и флуктуациями. Для потока термодинамической силы Fi и связанного тока Ji выполняется соотношение:
$$ \langle J_i(t) J_j(t') \rangle = k_B \frac{\partial J_i}{\partial F_j} \delta(t-t'), $$
что выражает принцип обратимости: отклонения от равновесия генерируют коррелированные флуктуации, которые диссипируют энергию и информацию. В терминах информационной физики это означает, что процесс передачи информации через систему всегда сопровождается производством энтропии, и величина флуктуаций задаёт минимальный уровень необратимости.
Неравновесная статистика требует расширенной формы ФДТ, включающей информационные потоки. Рассмотрим систему, взаимодействующую с окружающей средой, с вероятностным распределением P(x, t). Производство энтропии σ можно связать с относительной энтропией (KL-дивергенцией) D[P(t)∥Peq]:
$$ \sigma = \frac{d}{dt} D[P(t) \| P_{\text{eq}}] = \frac{d}{dt} \sum_x P(x,t) \ln \frac{P(x,t)}{P_{\text{eq}}(x)}. $$
Здесь видна глубокая связь с информационной мерой: отклонение системы от равновесия (информационный «разрыв») диссипирует, и флуктуации служат индикатором возможного информационного обмена между системой и средой.
В системах с обратной связью, такими как биологические сети или квантовые сенсорные устройства, флуктуационно-диссипационная теорема позволяет формализовать ограничения на скорость передачи информации и минимальную стоимость информационной обработки.
Для квантовых систем ФДТ принимает форму, учитывающую квантовую когерентность и некоммутативность операторов. Пусть Â(t) и B̂(t) — наблюдаемые системы, тогда спектральная плотность флуктуаций SAB(ω) связана с линейной откликовой функцией χAB(ω) через квантовое выражение:
$$ S_{AB}(\omega) = \hbar \coth\left(\frac{\hbar \omega}{2 k_B T}\right) \, \text{Im}[\chi_{AB}(\omega)]. $$
Эта связь демонстрирует, что даже на уровне квантовой информации флуктуации ограничивают скорость и точность измерения и передачи информации, задавая фундаментальные пределы на эффективность квантовых вычислительных и коммуникационных процессов.
ФДТ формирует математический и концептуальный каркас, объединяющий термодинамику, статистику и информационную теорию, позволяя количественно оценивать связь между флуктуациями, диссипацией и потоками информации в широком спектре физических систем.