Измерение квантовой информации и процессная томография

Квантовая информация представляет собой фундаментальное расширение классической теории информации на мир квантовых систем. Основная единица квантовой информации — кубит, который, в отличие от классического бита, может находиться в суперпозиции состояний |0⟩ и |1⟩. Формально, состояние кубита описывается вектором в двухмерном комплексном гильбертовом пространстве:

|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩,  где |α|2+|β|2 = 1.

Для многокубитных систем состояние системы задается вектором в гильбертовом пространстве размерности 2n для n кубитов. Важной особенностью является квантовая запутанность, при которой состояние системы не сводится к состояниям отдельных кубитов.

Измерение квантовой информации принципиально отличается от классического. Проекция состояния на измеряемый базис разрушает суперпозицию, а результаты измерений являются случайными с вероятностями, определяемыми квадратами амплитуд:

P(0) = |α|2,  P(1) = |β|2.

Это накладывает ограничения на прямое определение состояния кубита. Для полноты информации необходимо использовать квантовую томографию.

Квантовая томография

Квантовая томография — это процесс реконструкции полного квантового состояния системы на основе серии измерений. Основная задача томографии состоит в том, чтобы определить плотностную матрицу ρ, которая описывает как чистые, так и смешанные состояния:

ρ = ∑ipi|ψi⟩⟨ψi|,  где ∑ipi = 1.

Плотностная матрица содержит всю статистическую информацию о системе. Для одномерного кубита она представляется в виде:

$$ \rho = \frac{1}{2} (\mathbb{I} + \vec{r} \cdot \vec{\sigma}), $$

где r⃗ — вектор Блоха, σ⃗ — вектор Паули, ???? — единичная матрица. Томография сводится к измерению ожиданий операторов Паули:

⟨σx⟩,  ⟨σy⟩,  ⟨σz⟩.

Для многокубитных систем плотностная матрица растет экспоненциально, и реконструкция требует измерений в полном наборе базисов, что делает задачу сложной.

Процессная томография

Квантовая процессная томография (КПТ) направлена на полное определение квантового процесса (квантового канала) ℰ, который описывает эволюцию состояния:

ρout = ℰ(ρin).

Классические процессы можно описать функцией передачи, но квантовые процессы требуют супероператора или матрицы Чи (χ-матрицы):

ℰ(ρ) = ∑m, nχmnEmρEn†,

где {Em} — фиксированный операторный базис, например, базис Паули. Матрица χ полностью характеризует процесс, включая ошибки, декогеренцию и шум.

Этапы процессной томографии:

  1. Подготовка входных состояний. Необходим полный набор линейно независимых состояний, достаточный для покрытия пространства операторов.
  2. Применение квантового процесса. Каждый подготовленный кубит или система пропускается через канал.
  3. Квантовая томография выхода. Для каждого входного состояния выполняются измерения в нескольких базисах для восстановления плотностной матрицы выхода.
  4. Реконструкция χ-матрицы. На основе полученных данных решается система линейных уравнений для нахождения элементов матрицы Чи, обычно с применением метода наименьших квадратов или максимального правдоподобия.

Процессная томография позволяет полностью диагностировать квантовые устройства, выявлять источники ошибок и оптимизировать квантовые схемы.

Методы измерения и их особенности

  • Стандартная томография: подходит для малых систем, требует измерений в полных базисах.
  • Сжатая томография: использует идею, что большинство квантовых состояний реальных систем имеют низкую энтропию, что позволяет уменьшить число измерений.
  • Прямые методы: позволяют оценивать конкретные характеристики состояния (например, энтропию или фиделити) без реконструкции полной плотностной матрицы.

Ключевой момент: любые методы квантовой томографии подчиняются принципу невозможности клонирования квантовых состояний, что ограничивает параллельность измерений и требует аккуратного планирования экспериментов.

Ограничения и сложности

  1. Экспоненциальный рост числа измерений с увеличением числа кубитов.
  2. Статистическая ошибка из-за конечного числа копий системы.
  3. Декогеренция и шум: реальные квантовые системы подвержены взаимодействию с окружающей средой, что искажает результаты измерений.
  4. Неоднозначность реконструкции: метод максимального правдоподобия часто используется для поиска физически допустимой плотностной матрицы (ρ ≥ 0).

Практическое применение

  • Квантовые компьютеры: контроль качества гейтов и квантовых каналов.
  • Квантовая криптография: проверка безопасности ключей и выявление вмешательств.
  • Фундаментальные исследования: проверка принципов суперпозиции и запутанности.

Тщательная квантовая томография обеспечивает основу для надежного управления квантовыми системами и развития технологий обработки квантовой информации.

Оглавление