Квантовая запутанность и нелокальные корреляции

Квантовая запутанность представляет собой фундаментальное явление квантовой механики, при котором состояния двух или более частиц становятся тесно связанными так, что описание каждой отдельной частицы без учета остальных становится невозможным. Запутанность возникает в результате взаимодействия частиц, после которого их квантовые состояния не могут быть разложены на простые произведения состояний отдельных объектов.

Если система двух частиц A и B находится в запутанном состоянии |Ψ⟩, её волновая функция не может быть представлена в виде |ψ_A⟩⊗|ψ_B⟩. Классическим примером является состояние Белла для двух спинов-½:

$| Ψ^{-} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} | 1 ⟩_{B} - | 1 ⟩_{A} | 0 ⟩_{B}),$

где измерение спина одной частицы мгновенно определяет спин второй частицы, независимо от расстояния между ними.

Математическое описание и меры запутанности

1. Функция плотности и частичные следы

Для смешанных состояний запутанность описывается через матрицу плотности ρ. Состояние ρ системы AB запутано, если редуцированная матрица плотности одной из подсистем ρ_A = Tr_B(ρ) или ρ_B = Tr_A(ρ) не является чистым состоянием.

2. Энтропия и меры запутанности

Энтропия фон Неймана: S(ρ) = −Tr(ρlog ρ) Для чистого состояния всей системы S(ρ_AB) = 0, а энтропия подсистем S(ρ_A) = S(ρ_B) служит мерой запутанности.
Конкордантность и мера Эйфлера: используются для оценки запутанности двухкубитных систем в смешанных состояниях.
Негативность: измеряет степень отрицательных собственных значений частично транспонированной матрицы плотности и является индикатором наличия запутанности.

Нелокальные корреляции и теорема Белла

Запутанность тесно связана с понятием нелокальности. В классической физике предполагается локальность и реализм: результаты измерений зависят только от локальных свойств системы и скрытых переменных. Квантовая механика нарушает это через нелокальные корреляции, которые проявляются в тестах Белла.

Неравенство Белла формулируется как ограничение на корреляции измеряемых величин, исходя из локального реализма:

|E(a, b) + E(a, b′) + E(a′, b) − E(a′, b′)| ≤ 2,

где E(a, b) — корреляционная функция для измерений в направлениях a и b. Квантовые состояния могут нарушать это неравенство до величины $2 \sqrt{2}$ , что подтверждено экспериментально.

Ключевой момент: нарушение неравенств Белла указывает на то, что квантовая механика не может быть описана локальными скрытыми переменными, и корреляции в запутанных состояниях действительно являются нелокальными.

Экспериментальные реализации

1. Фотонные системы Используются пары поляризованных фотонов, создаваемые через процесс спонтанного параметрического рассеяния. Измерение поляризации фотонов на разных направлениях демонстрирует нарушение неравенств Белла.

2. Ионные ловушки и холодные атомы Запутанность реализуется между внутренними состояниями и мотионными модами ионов. Позволяет точное манипулирование квантовыми состояниями и проверку нелокальных корреляций.

3. Сверхпроводящие кубиты В цепях Джозефсона реализуются два или более кубита с сильной когерентной связью, демонстрирующей квантовую запутанность и возможность реализации квантовых логических операций.

Применения в квантовой информации

Запутанность является ресурсом в квантовой информации и лежит в основе многих технологий:

Квантовая телепортация: передача квантового состояния между удалёнными системами с использованием пары запутанных частиц.
Квантовая криптография: протоколы, такие как BB84 и E91, используют запутанные состояния для обнаружения перехвата информации.
Квантовые вычисления: кубиты в запутанных состояниях обеспечивают параллельные вычисления, недоступные классическим системам.
Суперпозиционные сенсоры: запутанные состояния увеличивают чувствительность измерений, например, в интерферометрии.

Динамика и декогеренция

Запутанные состояния чувствительны к взаимодействию с окружающей средой. Процесс потери когерентности (декогеренция) приводит к уменьшению степени запутанности. Описывается уравнением Линдблада:

$\frac{d ρ}{d t} = - \frac{i}{ℏ} [H, ρ] + \sum_{k} (L_{k} ρ L_{k}^{†} - \frac{1}{2} {L_{k}^{†} L_{k}, ρ}),$

где L_k — операторы взаимодействия с окружающей средой. Управление декогеренцией критически важно для квантовой связи и вычислений.

Взаимосвязь с фундаментальными концепциями физики

Квантовая запутанность демонстрирует невозможность разделения физической системы на независимые локальные объекты и раскрывает связь информации с физической реальностью. Она поднимает вопросы о природе причинности, времени и пространства, а также служит тестом границ квантовой механики и возможных обобщений теорий скрытых переменных.

Ключевой момент: запутанность не является артефактом измерения, а объективным свойством квантовой системы, проявляющимся в статистических корреляциях и доступным для экспериментальной проверки.