Квантовые фазовые переходы и запутанность

Основные концепции квантовых фазовых переходов

Квантовые фазовые переходы (КФП) — это преобразования состояния квантовой системы при изменении внешнего управляющего параметра при температуре, близкой к абсолютному нулю. В отличие от классических фазовых переходов, где критическая точка определяется тепловыми флуктуациями, КФП обусловлены исключительно квантовыми флуктуациями, возникающими из-за принципа неопределенности Гейзенберга.

Ключевой параметр: управляющий коэффициент g, который может представлять собой магнитное поле, взаимодействие между спинами или химический потенциал. Переход происходит при критическом значении g_c.

Пример: одноизмерная модель Изинга в поперечном магнитном поле. Гамильтониан системы:

H = −J∑_iσ_i^zσ_i + 1^z − h∑_iσ_i^x,

где J — константа взаимодействия, h — внешнее поле. Переход из ферромагнитного состояния (h < J) в парамагнитное (h > J) является квантовым.

Квантовая запутанность как индикатор фазового перехода

Квантовая запутанность является фундаментальным ресурсом, характеризующим коллективные квантовые состояния. Для описания КФП используются меры запутанности, такие как:

• Энтропия блоков (block entanglement entropy): Для системы, разделенной на блоки A и B, энтропия S_A задается через редуцированную матрицу плотности ρ_A:

S_A = −Tr(ρ_Aln ρ_A),

где ρ_A = Tr_B(ρ).

Вблизи критической точки энтропия растет логарифмически с размером блока, что отражает долгую корреляцию квантовых флуктуаций:

$$ S_A \sim \frac{c}{3} \ln L, $$

где c — центральный заряд теории конформных полей, L — размер блока.

• Конкурентные корреляции: Запутанность неравномерно распределяется между частицами, что приводит к структурированным квантовым фазам (например, спиновая жидкость или топологическая фаза).

Классификация квантовых фазовых переходов

КФП классифицируются по универсальности и характеру возбуждений:

1. Традиционные симметрийно-определенные переходы — аналог классических переходов, где меняется локальная симметрия (ферромагнетизм, антиферромагнетизм).
2. Топологические квантовые фазовые переходы — переходы между фазами с различной топологической структурой без локального порядка. Пример: переход из топологического изолятора в тривиальный изолятор.
3. Динамические переходы в открытых системах — происходят в системах с диссипацией и внешним насосом, где критическая точка определяется не энергией, а балансом квантовых потоков.

Методы анализа и моделирования

• Ренормализационная группа (RG): Позволяет изучать масштабные свойства системы, выявлять критические показатели и универсальные классы. Квантовые флуктуации на больших масштабах проявляются в поведении эффективных гамильтонианов.

• Тензорные сети: Метод эффективен для одномерных и двумерных систем, позволяя вычислять энтропию блоков и выявлять структурированные запутанные состояния. Пример: матрично-продуктные состояния (MPS) для одномерных спиновых цепей.

• Диагонализация полного гамильтониана и квантовый Монте-Карло: Применяется для малых систем, позволяет проследить критические изменения энергии основного состояния и спектра возбуждений.

Экспериментальные наблюдения

КФП наблюдаются в холодных атомных системах, магнетиках и квантовых проводниках. Основные методы включают:

• Интерферометрия холодных атомов — измерение корреляций спинов и плотности.
• Спектроскопия нейтронов и рентгеновская дифракция — изучение изменений магнитного порядка.
• Квантовые симуляторы на основе ионных ловушек — моделирование гамильтонианов с контролируемыми взаимодействиями.

Особое внимание уделяется измерению энтропии запутанности, которая становится доступной через корреляционные функции и статистику флуктуаций числа частиц в блоках системы.

Роль топологических состояний

Топологические фазы, такие как квантовый эффект Холла и топологические изоляторы, демонстрируют КФП без локального порядка. Ключевые признаки:

• Дегенерация основного состояния на торе или цилиндре.
• Неизменяемые топологические инварианты (например, число Черна).
• Сильная локальная запутанность с защитой от локальных возмущений.

Эти свойства имеют прямое значение для квантовых вычислений, где топологические кубиты демонстрируют устойчивость к декогеренции.

Связь с критической теорией

КФП подчиняются законам масштабной инвариантности. Вблизи критической точки:

• Корреляционная длина ξ стремится к бесконечности.
• Энергетический разрыв между основным и первым возбужденным состоянием стремится к нулю (ΔE → 0).
• Силовые спектры и коэффициенты запутанности подчиняются универсальным степенным законам.

Для одномерных систем с конформной симметрией энтропия блоков полностью определяется центральным зарядом c, что позволяет классифицировать фазы по их универсальным свойствам.