Квантовые коды исправления ошибок

Квантовые системы обладают уникальными свойствами, такими как суперпозиция и запутанность, которые позволяют создавать новые методы хранения и передачи информации. Однако квантовые состояния чрезвычайно чувствительны к внешним возмущениям, что делает проблему коррекции ошибок одной из центральных в квантовой информатике. В отличие от классических систем, где ошибки проявляются как локальные изменения битов, квантовые ошибки могут быть сложными комбинациями амплитуд и фаз, что требует особых подходов.

Типы квантовых ошибок

1. Битовые ошибки (X-ошибки) – аналог классической инверсии бита |0⟩ ↔︎ |1⟩.
2. Фазовые ошибки (Z-ошибки) – изменение фазы состояния |1⟩ → -|1⟩, оставляющее |0⟩ неизменным.
3. Комбинированные ошибки (Y-ошибки) – совмещение битовой и фазовой ошибки, эквивалентное оператору Y = iXZ.

Квантовые коды должны быть способны обнаруживать и корректировать все три типа ошибок, так как любая произвольная ошибка может быть разложена на комбинацию этих основных.

---

Базовые концепции квантового кодирования

Линейные подпространства и кодовое пространство

Квантовый код определяется как подпространство гильбертова пространства нескольких кубитов. Пусть у нас есть n физических кубитов, из которых мы хотим защитить k информационных кубитов. Тогда квантовый код можно описать как ???? ⊂ ℋ^⊗n, размерность которого 2^k.

Ключевая идея: ошибки переводят состояния из кодового подпространства ???? в ортогональные подпространства, что позволяет их различать и корректировать без разрушения исходной информации.

Условия исправления ошибок (условия Нильсона-Чау)

Для корректировки ошибки E в кодовом пространстве ???? необходимо, чтобы для любых двух базисных состояний |ψ_i⟩, |ψ_j⟩ выполнялось:

⟨ψ_i|E^†E|ψ_j⟩ = C_Eδ_ij

где C_E — константа, зависящая только от ошибки E. Эти условия гарантируют, что информация о состоянии не теряется и может быть восстановлена.

---

Основные примеры квантовых кодов

1. Тройной битовый код (3-кубитовый код)

Простейший пример коррекции битовых ошибок:

|0_L⟩=|000⟩,  |1_L⟩=|111⟩

Если один из кубитов подвергается битовой ошибке X, измерение синдрома позволяет определить, какой кубит поврежден, и восстановить исходное состояние.

2. 9-кубитовый код Шора

Код Шора объединяет коррекцию битовых и фазовых ошибок. Кодовое состояние записывается как:

$$|0_L⟩=\frac{1}{2\sqrt{2}}(|000⟩+|111⟩{)}^{\otimes 3},|1_L⟩=\frac{1}{2\sqrt{2}}(|000⟩-|111⟩{)}^{\otimes 3}$$

Этот код исправляет любую однокубитовую ошибку, включая комбинированные Y-ошибки. Ключевой момент: фазовая ошибка превращается в битовую в подблоках, что позволяет использовать известные методы коррекции.

3. Код CSS (Calderbank-Shor-Steane)

Коды CSS строятся на основе двух классических линейных кодов C1 и C2, где C2 ⊂ C1. Классическая проверка на четность используется для коррекции X-ошибок, а код C1/C2 — для Z-ошибок. Преимущество: модульная структура упрощает анализ ошибок и построение синдромов.

---

Методы обнаружения и исправления ошибок

Синдромное измерение

Для корректировки ошибки измеряют синдром, не разрушая квантовое состояние. Синдром — это результат измерения стабилизатора, который описывает ортогональные подпространства, соответствующие различным ошибкам.

Пример: для трёхкубитового кода измеряют попарные XOR кубитов, что указывает на место ошибки.

Использование стабилизаторного формализма

Стабилизаторы — это коммутирующие операторы, оставляющие кодовое пространство неизменным:

S_i|ψ_L⟩=|ψ_L⟩

Ошибки нарушают эти условия, и результаты измерений стабилизаторов дают синдром, позволяющий восстановить исходное состояние. Стабилизаторный подход является универсальным и позволяет компактно описывать большинство известных квантовых кодов.

---

Ограничения и фундаментальные принципы

1. Теорема о квантовом клонировании делает невозможным создание идеальной копии неизвестного квантового состояния, что исключает прямое дублирование информации для защиты.
2. Декогеренция и шум среды приводят к постепенной потере когерентности; кодирование должно учитывать статистику ошибок.
3. Соотношение между количеством кубитов и исправляемыми ошибками задается границей Хамминга: чем больше кубитов задействовано, тем больше ошибок можно исправить, но увеличивается сложность схемы коррекции.

---

Практическая реализация

В современных экспериментах квантовые коды реализуются с использованием различных платформ: сверхпроводящие кубиты, ионные ловушки, фотонные системы. Основные этапы включают:

• подготовку кодового состояния;
• измерение синдромов стабилизаторов;
• применение коррекционных операторов X, Z, Y;
• проверку восстановления исходного состояния.

Разработка надежных квантовых кодов является ключевым шагом к построению масштабируемых квантовых компьютеров и безопасных квантовых коммуникаций.