Ренормализационная группа (РГ) является фундаментальным инструментом современной теоретической физики, позволяя систематически изучать поведение физических систем на разных масштабах. В основе метода лежит идея, что физические законы могут проявляться по-разному в зависимости от пространственно-временного масштаба наблюдения, а параметры теории (например, константы взаимодействия) зависят от энергии или длины волны.
Ключевой принцип: при изменении масштаба наблюдения система подчиняется трансформации, описываемой ренормализационной группой, что позволяет выявлять универсальные свойства и критические явления.
Для конкретного физического поля ϕ(x) действия S[ϕ] при масштабировании x → bx и ϕ(x) → bΔϕϕ(bx) параметры gi теории изменяются по законам:
gi → gi(b) = gi + βi(g)ln b
где βi(g) — бета-функции, характеризующие “течение” констант при изменении масштаба.
Бета-функция β(g) определяет направление и скорость изменения параметров при изменении масштаба. Фиксированные точки g* ренормализации удовлетворяют условию:
β(g*) = 0
Смысл фиксированной точки: на больших масштабах система ведет себя универсально, независимо от микроскопических деталей. Для второго рода фазовых переходов фиксированные точки определяют критические показатели и универсальные классы.
Пример: для ϕ4-теории в d = 4 − ϵ пространственных измерениях бета-функция имеет вид:
и фиксированная точка
Ренормализационная группа позволяет рассматривать информационные потоки в физических системах, связывая изменение масштабов с перераспределением информации. В частности, можно ввести энтропийные меры, характеризующие потерю или перераспределение информации при усреднении микроскопических степеней свободы.
Фундаментальное утверждение: процесс ренормализации уменьшает информацию о микроскопических деталях, оставляя только макроскопические наблюдаемые величины. В терминах информации это соответствует потоку информации от микромасштаба к макромасштабу, аналогично принципу максимальной энтропии.
Если обозначить локальное распределение вероятностей микроструктур как P[ϕ], то после применения РГ на масштаб b оно трансформируется в эффективное распределение Pb[ϕ]. Информационная энтропия Шеннона:
Sb = −∫????ϕ Pb[ϕ]ln Pb[ϕ]
характеризует количество оставшейся информации о системе на масштабе b. Обычно Sb возрастает при увеличении масштаба, отражая потерю микроскопической специфики.
Ключевое понятие РГ — масштабирование корреляционных функций. Пусть G(x) = ⟨ϕ(0)ϕ(x)⟩. Под действием ренормализации:
G(x) → Gb(x) = b−2ΔϕG(x/b)
Из этого следует, что корреляционная длина ξ масштабируется как:
ξ → ξb = ξ/b
Информационный смысл: корреляционная длина определяет масштаб, на котором сохраняется значимая информация о системе. Вблизи критической точки ξ → ∞, и информация о микроскопической структуре распространяется на большие расстояния, что отражает появление долгопериодических корреляций и критических флуктуаций.
Одна из главных целей РГ — выявление универсальных свойств, не зависящих от мелких деталей системы. Это имеет прямой информационный аналог: на больших масштабах информация о конкретной микроструктуре теряется, но сохраняется информация о глобальных характеристиках, таких как критические показатели, симметрии, универсальные классы.
Для количественной оценки информации можно использовать квантовую и классическую взаимную информацию. Для двух подсистем A и B взаимная информация:
I(A : B) = S(A) + S(B) − S(A ∪ B)
показывает, как корреляции между частями системы изменяются при масштабировании. Ренормализация обычно уменьшает I(A : B) на малых масштабах, но на больших масштабах сохраняет информацию о универсальных закономерностях.
РГ применяется не только в квантовой теории поля, но и в статистической физике, критических явлениях, турбулентности, биологических системах и информационных сетях. В этих областях: