Теория случайных матриц в квантовом хаосе

Теория случайных матриц (ТСМ) возникла как математический аппарат для описания статистических свойств спектров сложных квантовых систем, где прямое решение уравнений Шрёдингера невозможно. В квантовом хаосе ТСМ используется для моделирования распределения собственных значений гамильтонианов, описывающих системы с хаотической классической динамикой. Основная идея заключается в том, что хаотическая динамика приводит к универсальным статистическим закономерностям, независимым от детальных особенностей системы.

Случайная матрица H рассматривается как элемент ансамбля, обладающего определённой симметрией. Наиболее важными являются три классических ансамбля Вишарта–Дайсона:

  • GOE (Gaussian Orthogonal Ensemble) — симметричная вещественная матрица, применимая для систем с сохранением времени (T-симметрия).
  • GUE (Gaussian Unitary Ensemble) — эрмитова матрица, для систем без T-симметрии (например, в присутствии магнитного поля).
  • GSE (Gaussian Symplectic Ensemble) — кватернионная матрица, для систем с T-симметрией и спином 1/2.

Эти ансамбли описывают универсальные статистики уровня энергии, такие как распределение соседних уровней и корреляционные функции спектра.

Распределение соседних уровней

Ключевым результатом ТСМ в квантовом хаосе является статистика ближних уровней энергии. Для хаотических систем характерно явление отталкивания уровней: вероятность того, что два уровня окажутся очень близко, стремится к нулю. В классической случайной матрице это описывается функцией:

P(s) ∼ sβexp (−αs2),

где s — расстояние между соседними уровнями, нормированное на среднее расстояние, а параметр β определяется симметрией ансамбля: β = 1 для GOE, β = 2 для GUE, β = 4 для GSE. Эта функция противоположна экспоненциальному распределению Пуассона, характерному для интегрируемых систем, где уровни не взаимодействуют.

  • GOE: $P(s) = \frac{\pi}{2} s \exp\left(-\frac{\pi}{4} s^2\right)$
  • GUE: $P(s) = \frac{32}{\pi^2} s^2 \exp\left(-\frac{4}{\pi} s^2\right)$
  • GSE: $P(s) = \frac{2^{18}}{3^6 \pi^3} s^4 \exp\left(-\frac{64}{9\pi} s^2\right)$

Эти распределения хорошо описывают спектры атомных ядер, квантовых точек и систем с сильным хаосом.

Универсальность и корреляции

Одним из центральных результатов ТСМ является универсальность статистики спектра: локальные корреляции уровней энергии не зависят от деталей гамильтониана. В частности, для больших матриц распределение соседних уровней и функция «числа уровней» Σ2(L) (дисперсия числа уровней в окне L) оказываются идентичными для широкого класса систем с хаотической классической динамикой.

Для GOE функция числа уровней описывается приближением Вигнера–Дайсона:

$$ \Sigma^2(L) \sim \frac{2}{\pi^2} \ln L. $$

Это отражает длинноволновые корреляции между уровнями: спектр не является полностью случайным, как в Пуассоне, а демонстрирует жёсткость спектра.

Связь с квантовым хаосом

Квантовый хаос характеризуется отсутствием интегралов движения, кроме энергии, и сложной динамикой волновых функций. Связь с ТСМ проявляется в двух аспектах:

  1. Статистика спектра: как уже отмечено, хаотические системы демонстрируют распределения, описываемые ансамблями Вишарта–Дайсона, в то время как интегрируемые системы следуют распределению Пуассона.

  2. Статистика амплитуд волновых функций: для хаотических систем амплитуды волновых функций распределены гауссово, что также моделируется случайными матрицами.

Эти закономерности позволяют использовать ТСМ как инструмент предсказания статистических свойств сложных квантовых систем, когда точное решение уравнений Шрёдингера недоступно.

Энергетические уровни и спектральные жесткости

В ТСМ для анализа спектральной жёсткости используют спектральную функцию плотности и её флуктуации. Пусть ρ(E) = ∑nδ(E − En) — плотность уровней. Определяются:

  • Сглаженная плотность: $\overline{\rho}(E)$, отражает макроскопическую структуру спектра.
  • Флуктуации: $\delta \rho(E) = \rho(E) - \overline{\rho}(E)$.

Корреляционная функция флуктуаций

R2(ϵ) = ⟨δρ(E)δρ(E + ϵ)⟩

показывает характер «жёсткости спектра» и служит индикатором хаотичности: для хаотических систем R2(ϵ) совпадает с предсказаниями ТСМ.

Энсамбли ТСМ и физические примеры

Примеры физических систем, описываемых ТСМ:

  • Атомные ядра: уровни возбуждения сложных ядер подчиняются статистике GOE.
  • Квантовые точки и мезоскопические системы: хаотические электронные состояния демонстрируют статистику GUE в присутствии магнитного поля.
  • Биллиардные системы: квантовые аналоги классических биллиардов с хаотической траекторией демонстрируют универсальные распределения уровней.

Эти примеры демонстрируют, что ТСМ является не абстрактной математической конструкцией, а мощным инструментом анализа реальных квантовых систем с хаотической динамикой.

Связь с теориями информации

ТСМ также имеет глубокие связи с информационной теорией: спектральная жёсткость и распределение уровней связаны с энтропией квантовой системы и степенью её «случайности». Моделирование гамильтонианов случайными матрицами позволяет количественно оценивать информационную плотность квантовой системы, взаимные корреляции и уровень смешивания состояний.

Оглавление