Диффузионные модели распространения

Диффузионные модели распространения космических лучей (КЛ) базируются на представлении о том, что частицы высокой энергии движутся в галактическом магнитном поле преимущественно хаотическим образом. Основным механизмом транспортировки КЛ считается диффузия, которая возникает вследствие рассеяния на магнитных неоднородностях и турбулентных возмущениях магнитного поля. В этом подходе влияние регулярного галактического поля учитывается как слабое смещение вдоль определённого направления, тогда как основное распространение описывается диффузионным процессом.

Диффузионное приближение позволяет упростить сложные кинетические уравнения Власова-Фоккера-Планка, заменяя детальное рассмотрение траекторий частиц на статистическую картину их распределения в пространстве и энергии.

Диффузионное уравнение космических лучей

Классическая форма диффузионного уравнения для плотности частиц N(r, E, t) записывается как:

$$ \frac{\partial N}{\partial t} = \nabla \cdot \left( D(E, \mathbf{r}) \nabla N \right) - \nabla \cdot (\mathbf{V} N) + \frac{\partial}{\partial E} \left( b(E, \mathbf{r}) N \right) - \frac{N}{\tau(E, \mathbf{r})} + Q(\mathbf{r}, E, t) $$

где:

D(E, r) — диффузионный коэффициент, зависящий от энергии частицы и координаты,
V — скорость конвективного потока, связанного с галактическим ветром,
b(E, r) = −dE/dt — скорость потери энергии, включающая кулоновские, радиационные и адронные процессы,
τ(E, r) — характерное время уничтожения или выхода частицы из объема,
Q(r, E, t) — источник космических лучей.

Ключевой момент: диффузионный подход применим, когда длина свободного пробега λ частицы много меньше масштабов неоднородностей магнитного поля, а распределение частиц почти изотропное.

Диффузионный коэффициент и его энергетическая зависимость

Диффузионный коэффициент D(E) отражает эффективность рассеяния частиц на турбулентностях магнитного поля. Для галактических условий чаще всего используют зависимость вида:

$$ D(E) = D_0 \left(\frac{E}{E_0}\right)^\delta $$

где δ ∼ 0.3 − 0.7, что соответствует различным спектрам турбулентности (например, Кольмогоровская или Краяцкая турбулентность), D₀ — нормировка при энергии E₀.

Энергетическая зависимость диффузии объясняет наблюдаемое смягчение спектра космических лучей с ростом энергии и различие спектров легких и тяжелых компонентов.

Модели распределения космических лучей в галактике

1. Одномерная модель «коробки»

В этой модели галактика рассматривается как плоская коробка с толщиной 2H, где H ∼ 1 − 5 кпк — вертикальный масштаб. Источники КЛ распределены в тонком галактическом диске. Уравнение диффузии упрощается до:

$$ - D(E) \frac{\partial^2 N}{\partial z^2} + Q(E) = \frac{N}{\tau_{\text{esc}}(E)} $$

Здесь τ_esc ∼ H²/D(E) — время выхода частиц из галактики. Такое упрощение позволяет аналитически получить зависимость спектра на Земле и рассчитывать соотношения вторичных и первичных компонентов.

2. Трехмерная модель с радиальными и вертикальными градиентами

В более сложной модели учитывается радиальное распределение источников по галактическому диску и вертикальное уменьшение плотности межзвездного газа. Диффузионный коэффициент может зависеть от координат D(E, r, z). Решение требует численных методов (например, Crank-Nicolson или метод конечных элементов) и позволяет более точно моделировать наблюдаемые анизотропии и локальные эффекты.

Потери энергии и вторичные компоненты

При распространении космических лучей важную роль играют процессы потерь энергии и генерации вторичных частиц:

Адронные взаимодействия с межзвездным газом создают вторичные протонные и ядреные компоненты.
Радиационные потери для электронов: синхротронное излучение и тормозное излучение (Bremsstrahlung).
Интеракции с фотонами фонового излучения (Inverse Compton) для высокоэнергетических электронов.

Эти эффекты включаются в диффузионное уравнение через члены ∂/∂E(b(E)N) и τ(E), что позволяет моделировать соотношения первичных и вторичных компонентов (например, B/C, e⁺/e⁻).

Диффузия и галактический ветер

Помимо диффузии, важным механизмом является конвекция с галактическим ветром. В уравнении она описывается термом ∇ ⋅ (VN). Этот процесс особенно значим для низкоэнергетических частиц, так как он эффективно выносит их из галактики, снижая плотность частиц на планетарных орбитах.

Анизотропия космических лучей

Диффузионные модели позволяют оценивать уровень анизотропии:

$$ \delta_{\text{ani}} \sim \frac{3 D(E)}{c} \frac{|\nabla N|}{N} $$

Здесь δ_ani — относительная амплитуда анизотропии. Этот показатель служит важным тестом моделей диффузии: слишком высокий D(E) даст анизотропию, противоречащую наблюдениям. Современные наблюдения показывают анизотропию на уровне 10⁻³ − 10⁻⁴, что накладывает ограничения на масштаб и спектр турбулентности галактического магнитного поля.

Численные методы решения диффузионного уравнения

Для сложных трёхмерных моделей применяются:

Метод конечных разностей (Crank-Nicolson, Runge-Kutta) — стабилен и широко используется для временной эволюции.
Метод Монте-Карло — отслеживание отдельных частиц в турбулентном поле, что даёт прямое сравнение с физическим процессом рассеяния.
Спектральные методы — позволяют эффективно учитывать радиальные и вертикальные градиенты диффузионного коэффициента.

Часто комбинируются численные решения с аналитическими приближениями для калибровки моделей по наблюдаемым спектрам и соотношениям вторичных/первичных компонентов.