Кинетическое уравнение для космических лучей

Кинетическое уравнение является фундаментальным инструментом для описания эволюции космических лучей (КЛ) в различных областях пространства, включая межзвёздное и межгалактическое пространство, а также околоземное пространство. Оно формулируется на основе принципов статистической физики и теории переноса частиц, позволяя учитывать процессы генерации, рассеяния, потерь энергии и адъюкции частиц в магнитных и гравитационных полях.

1. Общая форма кинетического уравнения

Классическая форма кинетического уравнения для распределенной функции f(r, p, t) космических лучей имеет вид:

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \mathbf{F} \cdot \nabla_{\mathbf{p}} f = \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{coll}} + Q(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t), $$

где:

  • r — координата частицы,
  • p — импульс частицы,
  • v — скорость частицы,
  • F — внешняя сила (например, Лоренцова сила),
  • (∂f/∂t)coll — член столкновений, описывающий взаимодействия с магнитным полем и турбулентными неоднородностями,
  • Q(r, p, t) — источник частиц, включающий первичные космические лучи и продукт вторичных взаимодействий.

Ключевым моментом является то, что кинетическое уравнение учитывает как свободное движение частиц, так и процессы их диффузии и потерь энергии.

2. Член столкновений и диффузия

В большинстве астрофизических условий прямое столкновение космических лучей с газом редкое, поэтому доминирующим процессом является магнитная диффузия. Член столкновений часто аппроксимируется как оператор диффузии по угловым или импульсным координатам:

$$ \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{coll}} \approx \nabla_{\mathbf{p}} \cdot \left( D_{\mathbf{p}} \nabla_{\mathbf{p}} f \right), $$

где Dp — тензор диффузии в импульсном пространстве. Для случая изотропной турбулентной среды часто используется упрощение:

Dp = D(p)I,

что приводит к обычной форме фоккер-планковского уравнения, широко применяемого в теории космических лучей.

3. Диффузионное приближение

Если распределение частиц близко к изотропному, кинетическое уравнение сводится к диффузионному уравнению для плотности частиц n(r, t):

$$ \frac{\partial n}{\partial t} - \nabla \cdot \left( D \nabla n \right) + \nabla \cdot (\mathbf{u} n) + \frac{\partial}{\partial E} \left( b(E) n \right) = Q(\mathbf{r}, E, t), $$

где:

  • D — коэффициент пространственной диффузии, зависящий от энергии и характеристик магнитного поля,
  • u — скорость потока среды (например, галактического ветра),
  • b(E) = −dE/dt — скорость потерь энергии, включая кулоновские, синхротронные и фото-ядерные процессы.

Это приближение позволяет проводить количественные расчёты спектров космических лучей и их пространственного распределения в галактических масштабах.

4. Потери энергии и вторичная продукция

Потери энергии включают несколько ключевых механизмов:

  1. Ионизационные потери — взаимодействие с межзвёздным газом, важное для низкоэнергетических частиц ( < 1 ГэВ),
  2. Радиационные потери — синхротронное излучение и комптоновское рассеяние для электронов высоких энергий,
  3. Ядерные реакции — взаимодействие с протонами и ядрами межзвёздного газа, приводящее к образованию вторичных частиц (например, мюонов, антипротонов, легких элементов).

Эти процессы вводят зависимость коэффициентов потерь энергии b(E) от энергии частиц, что существенно влияет на форму спектра космических лучей.

5. Источники космических лучей

Источники Q(r, p, t) могут быть разделены на два класса:

  • Первичные источники — суперновые остатки, активные ядра галактик, пульсары;
  • Вторичные источники — продукт взаимодействия первичных частиц с газом и фотонным полем, формирующие вторичные протонные и электронные компоненты.

Для галактики часто используют распределение источников по модели диска с экспоненциальным убыванием по радиусу и высоте:

$$ Q(R, z, E) = Q_0 \exp\left(-\frac{R}{R_0}\right) \exp\left(-\frac{|z|}{z_0}\right) E^{-\gamma}, $$

где R0 и z0 — масштабные радиусы и высоты галактического диска, γ — спектральный индекс источника.

6. Магнитные поля и анизотропия диффузии

Магнитное поле играет ключевую роль в формировании пути космических лучей. В присутствии регулярного поля диффузия становится анизотропной:

Dij = D∥bibj + D⟂(δij − bibj),

где b = B/B — единичный вектор вдоль поля. Для сильной турбулентности D∥ ≈ D⟂, но в слабой турбулентности наблюдается значительная разница, что влияет на распространение и время удержания частиц в галактике.

7. Решение кинетического уравнения

Решение кинетического уравнения обычно требует численных методов, особенно для сложных геометрий и энерго-зависимых коэффициентов диффузии. Основные подходы включают:

  • Метод конечных разностей — для одномерных и двухмерных моделей,
  • Монте-Карло моделирование — для траекторий отдельных частиц и оценки времени жизни,
  • Фурье-анализ и разложение по собственным функциям — для стационарных и периодических условий.

Эти методы позволяют вычислять спектры космических лучей, их пространственные распределения и сравнивать с наблюдаемыми данными.

Оглавление