Стохастическое ускорение Ферми второго рода

Основные положения механизма

Стохастическое ускорение Ферми второго рода является фундаментальным процессом, объясняющим прирост энергии заряженных частиц при их взаимодействии с подвижными магнитными неоднородностями в межзвёздной и межпланетной среде. В отличие от ускорения первого рода, происходящего на ударных волнах и обеспечивающего систематический рост энергии, механизм второго рода носит диффузионный характер по энергии: частицы как могут увеличивать, так и терять энергию при столкновениях с магнитными неоднородностями, однако средний эффект остаётся положительным.

Основная идея Ферми заключалась в том, что магнитные облака или волны, движущиеся с характерной скоростью порядка альфвénовской, действуют как динамические отражатели. При случайных столкновениях частица испытывает чередующиеся ускорения и замедления. Усреднённый по множеству взаимодействий результат даёт медленное, но кумулятивное увеличение энергии.

Кинематическое описание

Предположим, что частица массы m, заряда q и энергии E движется в среде, где присутствуют неоднородности магнитного поля, движущиеся со скоростью V. Если θ — угол между направлением движения частицы и скоростью неоднородности, то относительная приращённая энергия за одно столкновение может быть записана как

$$ \frac{\Delta E}{E} \approx \frac{V}{c}\cos\theta + \frac{1}{2}\left(\frac{V}{c}\right)^2(1 + \cos^2\theta), $$

где c — скорость света.

Первый член пропорционален $\frac{V}{c}$ и может быть как положительным, так и отрицательным. Однако при усреднении по всем возможным углам θ он обращается в ноль. Второй член пропорционален (V/c)² и всегда положителен, что и приводит к постепенному росту энергии.

Таким образом, процесс второго рода отличается квадратичной зависимостью скорости ускорения от отношения V/c, что делает его гораздо менее эффективным по сравнению с ускорением первого рода.

Уравнение транспортировки и диффузия по энергии

Стохастическое ускорение описывается уравнением диффузии в пространстве энергий, аналогичным уравнению Фоккера–Планка. Пусть f(E, t) — функция распределения частиц по энергии, тогда её эволюция определяется выражением:

$$ \frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial E} \left[ D_E \frac{\partial f}{\partial E} - A(E)f \right] + Q(E,t) - \frac{f}{\tau}, $$

где

• D_E — коэффициент диффузии по энергии, зависящий от свойств турбулентности,
• A(E) — систематическая скорость прироста энергии, связанная с усреднённым ускорением,
• Q(E, t) — источник частиц,
• τ — характерное время потерь (радиационных, коллизионных, эскапных).

Для механизма Ферми второго рода коэффициент A(E) связан с D_E через соотношение

$$ A(E) = \frac{1}{E}\, D_E, $$

что отражает пропорциональность средней скорости ускорения квадрату относительной скорости неоднородностей.

Время ускорения

Характерное время стохастического ускорения определяется как

$$ t_{\text{acc}} \sim \frac{E^2}{D_E}. $$

При типичных параметрах межзвёздной турбулентности (V ∼ 10⁶–10⁷ см/с, c = 3 × 10¹⁰ см/с) эффективность оказывается относительно низкой: t_acc значительно превышает времена жизни частиц в локальных областях. Именно поэтому данный механизм не рассматривается как основной источник галактических космических лучей высоких энергий, но играет существенную роль в дополнительной переработке спектра и формировании высокоэнергетических хвостов распределений.

Роль магнитной турбулентности

Стохастическое ускорение тесно связано с характеристиками турбулентного спектра магнитного поля. Взаимодействие частиц с альфвénовскими и магнитозвуковыми волнами приводит к резонансным эффектам. При выполнении резонансного условия

k_∥v_∥ − ω = nΩ,

где k_∥ — продольная компонента волнового числа, ω — частота волны, Ω — гирочастота частицы, n — целое число, частица эффективно обменивается энергией с волной.

Таким образом, именно спектр и амплитуда турбулентных колебаний определяют эффективность ускорения. В астрофизических условиях существенную роль играет каскад энергии в турбулентности, переходящей от больших масштабов к малым, что обеспечивает широкий диапазон взаимодействий.

Астрофизические приложения

Стохастическое ускорение второго рода имеет значение в ряде астрофизических объектов и процессов:

• Солнечная корона и солнечные вспышки. Турбулентные процессы вблизи активных областей способствуют дополнительному ускорению электронов и протонов, формируя рентгеновское и радиовыпускание.
• Межзвёздная среда. Здесь процесс играет роль в поддержании низкоэнергетической части спектра космических лучей.
• Активные ядра галактик и джеты. Турбулентность плазмы в окрестностях аккреционных дисков и струй может приводить к стохастическому перераспределению энергий частиц.
• Остатки сверхновых. Хотя основной механизм ускорения там — ударно-волновой (Ферми первого рода), турбулентность в окрестности фронта ударной волны может дополнительно перерабатывать распределение частиц по энергиям.

Спектральные характеристики

Стохастическое ускорение приводит к формированию распределений, близких к степенным законам, однако со сглаженными экспоненциальными обрезаниями на высоких энергиях. Для установившегося режима решение уравнения Фоккера–Планка даёт спектр вида

$$ f(E) \propto E^{-\gamma} \exp\left(-\frac{E}{E_c}\right), $$

где показатель γ определяется балансом между ускорением и потерями, а E_c — характерная энергия отсечки.

Таким образом, спектральные следы стохастического ускорения могут быть диагностированы по наблюдаемым энергетическим распределениям частиц и их электромагнитному излучению.