Вертикальное распределение давления и плотности газа в атмосфере определяется равновесием между силой тяжести и градиентом давления. В условиях статического равновесия для слоя газа выполняется уравнение гидростатики:
$$ \frac{dP}{dz} = - \rho g, $$
где
Эта зависимость выражает факт, что давление уменьшается с высотой, так как вышележащие слои оказывают меньшее весовое воздействие.
Для описания состояния воздуха применяется уравнение состояния идеального газа:
P = ρRT,
где
Подстановка этого выражения в уравнение гидростатики позволяет связать давление не только с высотой, но и с температурным распределением.
Если температура атмосферы на рассматриваемом участке высоты считается постоянной, то уравнение принимает простую форму:
$$ \frac{dP}{dz} = - \frac{P}{RT} g. $$
Решение этого дифференциального уравнения:
$$ P(z) = P_0 \exp\left(- \frac{Mgz}{RT}\right), $$
где
В таком виде формула известна как барометрическая формула. Она показывает экспоненциальное уменьшение давления с высотой.
Вводится величина, называемая барометрической высотой или характеристической высотой атмосферы:
$$ H = \frac{RT}{Mg}. $$
Тогда формула записывается в компактной форме:
$$ P(z) = P_0 \exp\left(-\frac{z}{H}\right). $$
Для температуры около 288 K и средней молярной массы воздуха M ≈ 0.029 кг/моль, получаем:
H ≈ 8, 5 км.
Это означает, что каждые 8–9 км давление уменьшается примерно в e ≈ 2, 718 раза.
На практике температура воздуха не является постоянной. В тропосфере температура убывает с высотой в среднем на 6.5 K/км. Это учитывается в модифицированной барометрической формуле:
$$ P(z) = P_0 \left(1 - \frac{Lz}{T_0}\right)^{\frac{gM}{RL}}, $$
где
Эта зависимость дает более точное описание изменения давления в пределах тропосферы.
Из уравнения состояния газа следует:
$$ \rho(z) = \frac{P(z)}{RT(z)}. $$
При изотермическом условии:
$$ \rho(z) = \rho_0 \exp\left(- \frac{z}{H}\right), $$
где ρ0 — плотность воздуха на уровне моря. Таким образом, плотность убывает с той же закономерностью, что и давление.
Согласно кинетической теории газов, для каждой молекулы распределение можно описать аналогично:
$$ n_i(z) = n_{i0} \exp\left(- \frac{m_i g z}{kT}\right), $$
где
Из этой формулы следует, что более тяжелые газы должны концентрироваться у поверхности, а более легкие — в верхних слоях. Однако в нижней атмосфере (тропосфера и стратосфера) наблюдается почти полное перемешивание за счет турбулентности и конвективных процессов. Поэтому до высот ~100 км состав воздуха остается практически постоянным (так называемая гомосфера). Выше этой границы, в гетеросфере, начинает проявляться расслоение газов в соответствии с их молекулярной массой.