Уравнения движения атмосферы

Атмосферные движения описываются уравнениями гидродинамики, адаптированными к условиям вращающейся Земли и стратифицированной среды. В основе лежат фундаментальные законы сохранения массы, импульса и энергии, дополненные уравнением состояния. Эти уравнения образуют замкнутую систему, позволяющую анализировать как крупномасштабные циркуляции, так и мезо- и микромасштабные процессы.

Уравнение неразрывности

Сохранение массы для несжимаемой или слабо сжимаемой атмосферы формулируется в виде:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0, $$

где

  • ρ – плотность воздуха,
  • v = (u, v, w) – вектор скорости (составляющие по координатам x, y, z),
  • t – время.

Для атмосферы нередко применяют приближение Буссинеска, где плотность считается постоянной в инерционных членах, но вариации ρ сохраняются в терминах, связанных с гравитацией и плавучестью. В этом случае уравнение упрощается:

∇ ⋅ v = 0.

Уравнение движения (Навье–Стокса для атмосферы)

Основное уравнение динамики атмосферы выражает закон сохранения импульса с учетом вращения Земли и внешних сил:

$$ \frac{D \mathbf{v}}{D t} + 2 \mathbf{\Omega} \times \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \mathbf{g} + \mathbf{F}_{\text{тр}}, $$

где

  • $\dfrac{D}{Dt}$ – материальная производная, $\dfrac{\partial}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla$,
  • Ω – вектор угловой скорости вращения Земли,
  • p – давление,
  • g – ускорение свободного падения,
  • Fтр – сила трения (вязкость, турбулентный обмен).

Ключевые члены уравнения:

  • Адвективный член (v ⋅ ∇)v – перенос импульса движением.
  • Сила Кориолиса 2Ω × v – отражает влияние вращения Земли.
  • Барическая сила $-\frac{1}{\rho}\nabla p$ – градиент давления, основной источник движения.
  • Гравитационный член g – формирует стратификацию атмосферы.
  • Диссипативный член – определяет трение о поверхность и внутреннюю вязкость.

Уравнение гидростатического равновесия

В вертикальном направлении часто используется приближение гидростатики:

$$ \frac{\partial p}{\partial z} = -\rho g. $$

Оно справедливо для процессов с вертикальными скоростями, малыми по сравнению с горизонтальными, и описывает баланс между силой давления и тяжестью. Это приближение лежит в основе численных моделей погоды и климатических расчетов.

Уравнение состояния

Для описания связи давления, температуры и плотности используется уравнение состояния идеального газа:

p = ρRT,

где

  • R – газовая постоянная для сухого воздуха,
  • T – абсолютная температура.

В случае влажного воздуха вводят поправки, учитывающие парциальное давление водяного пара и так называемую виртуальную температуру, которая эквивалентна температуре сухого воздуха той же плотности.

Термодинамическое уравнение энергии

Энергетические процессы в атмосфере описываются уравнением:

$$ \frac{D \theta}{Dt} = \frac{Q}{c_p}, $$

где

  • θ – потенциальная температура,
  • Q – приток или убыль тепла (радиация, конденсация, испарение),
  • cp – теплоёмкость при постоянном давлении.

Потенциальная температура играет ключевую роль, так как остаётся постоянной при адиабатическом переносе.

Система примитивных уравнений атмосферы

Для практических расчетов метеорология использует примитивные уравнения, полученные из общей системы гидродинамики с рядом приближений:

  1. Атмосфера считается тонким слоем по сравнению с радиусом Земли.
  2. Применяется приближение гидростатики.
  3. Уравнения записываются в сферической системе координат (λ, φ, p), где λ – долгота, φ – широта, p – давление.

Система включает:

  • уравнение горизонтального движения с Кориолисовой силой,
  • уравнение гидростатического равновесия,
  • уравнение неразрывности в координатах давления,
  • термодинамическое уравнение,
  • уравнение состояния.

Эти уравнения являются основой для глобальных моделей циркуляции атмосферы (GCM), а также численных прогнозов погоды.

Влияние вращения Земли и приближение геострофии

На больших масштабах (сотни километров и более) баланс между силой Кориолиса и барической силой приводит к геострофическому ветру:

$$ f v_g = \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}, \quad f u_g = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}, $$

где f = 2Ωsin φ – параметр Кориолиса.

Этот баланс определяет структуру струйных течений, циклонов и антициклонов. Вне экваториальной зоны геострофическое приближение является основным инструментом теоретической метеорологии.

Волнения и неустойчивости

Уравнения движения атмосферы описывают широкий спектр колебаний и неустойчивостей:

  • Гравитационные волны – результат колебаний стратифицированного воздуха.
  • Бароклинная неустойчивость – формирует циклоническую активность в средних широтах.
  • Баротропная неустойчивость – связана с горизонтальными градиентами скорости.
  • Кельвиновы и Россби волны – крупномасштабные колебания, важные для глобальной динамики.
Оглавление