Кинетическая теория плазмы представляет собой развитие общей кинетической теории газов, адаптированной к системе заряженных частиц, взаимодействующих между собой посредством дальнодействующих кулоновских сил. В отличие от нейтрального газа, где столкновения имеют локальный характер, в плазме динамика определяется как частыми, так и дальними кулоновскими взаимодействиями, что приводит к необходимости использования более сложных функций распределения и уравнений эволюции.
Ключевым понятием кинетической теории является функция распределения f(r, v, t), определяющая вероятность обнаружения частицы с координатами r и скоростью v в момент времени t. Функция распределения позволяет перейти от описания отдельных частиц к статистическому описанию плазмы как континуума.
Основные моменты:
n(r, t) = ∫f(r, v, t) d3v,
где n(r, t) — концентрация частиц.
$$ \langle A(\mathbf{v}) \rangle = \frac{1}{n(\mathbf{r}, t)} \int A(\mathbf{v}) f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t)\, d^3v. $$
Таким образом, функция распределения является фундаментом для расчёта макроскопических параметров: плотности, средней скорости, давления, температуры.
В условиях, когда межчастичные столкновения можно пренебречь или они играют второстепенную роль, динамику плазмы описывает уравнение Власова:
$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{q}{m} \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right) \cdot \nabla_{\mathbf{v}} f = 0, $$
где q и m — заряд и масса частицы, E, B — электрическое и магнитное поля.
Это уравнение отражает сохранение числа частиц в фазовом пространстве. В сочетании с уравнениями Максвелла оно образует самосогласованную систему, описывающую эволюцию плазмы.
В более общем случае необходимо учитывать столкновения. Тогда используется кинетическое уравнение Больцмана:
$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{q}{m} \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right) \cdot \nabla_{\mathbf{v}} f = \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столк}}. $$
Правая часть описывает изменения функции распределения вследствие столкновений. Для кулоновских взаимодействий она имеет вид интеграла Ландау, что существенно усложняет анализ, но является необходимым для описания медленных релаксационных процессов в плазме.
В равновесии частицы плазмы подчиняются распределению Максвелла–Больцмана:
$$ f_0(\mathbf{v}) = n \left( \frac{m}{2 \pi k_B T} \right)^{3/2} \exp \left( -\frac{m v^2}{2 k_B T} \right), $$
где kB — постоянная Больцмана, T — температура.
Однако в реальных условиях термоядерной плазмы отклонения от равновесного распределения неизбежны. Их источники:
Таким образом, функции распределения в термоядерных установках редко соответствуют чистому максвелловскому виду.
Из кинетического описания можно перейти к гидродинамическому. Для этого берутся моменты уравнения Больцмана по скоростям:
$$ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla \cdot (n \mathbf{u}) = 0, $$
где u — средняя скорость.
$$ m n \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = q n (\mathbf{E} + \mathbf{u} \times \mathbf{B}) - \nabla \cdot \mathbf{P}, $$
где P — тензор давления.
Таким образом, гидродинамическое описание плазмы получается как усреднённое представление кинетической теории.
Форма функции распределения играет критическую роль для расчёта скоростей термоядерных реакций. Участие в реакциях принимают главным образом быстрые частицы из хвоста распределения. Даже малые отклонения от максвелловской формы способны существенно изменить сечение реакций и выход энергии.
Особое значение имеют:
Определение функции распределения имеет ключевое значение в экспериментальной диагностике. Используются методы:
Таким образом, понимание и контроль формы функции распределения является фундаментом для успешного осуществления управляемого термоядерного синтеза.