Ядерные реакции в условиях термоядерного синтеза определяются законами квантовой механики. Несмотря на то, что ядра обладают значительной массой и в классическом приближении их движение можно рассматривать как взаимодействие заряженных частиц в кулоновском поле, именно квантовые эффекты — туннелирование, квантовые резонансы, интерференция состояний — определяют вероятность протекания реакций при энергиях, существенно меньших высоты кулоновского барьера.
Квантово-механический подход к ядерным процессам базируется на уравнении Шрёдингера для системы двух взаимодействующих частиц. Пусть две частицы с зарядами Z1e и Z2e, а также с относительной массой μ движутся навстречу друг другу. В сферически-симметричном приближении уравнение Шрёдингера для относительного движения имеет вид:
$$ \left[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2}{dr^2} + \frac{l(l+1)\hbar^2}{2\mu r^2} + V(r) \right] u_l(r) = E u_l(r), $$
где l — орбитальное квантовое число, V(r) — потенциал взаимодействия (сумма кулоновского и ядерного), ul(r) — радиальная волновая функция.
Для ядерных реакций на легких элементах решающее значение имеет преодоление кулоновского барьера:
$$ V_C(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{r}. $$
При классическом рассмотрении реакция возможна только тогда, когда кинетическая энергия частиц превышает VC(r). Однако квантовая механика допускает конечную вероятность прохождения сквозь барьер даже при энергиях значительно меньших его высоты. Эта вероятность описывается коэффициентом проникновения (барьерным фактором Гамова):
$$ P(E) \approx \exp \left[ - \frac{2}{\hbar} \int_{r_1}^{r_2} \sqrt{2\mu (V_C(r) - E)} \, dr \right], $$
где r1 и r2 — классические точки поворота.
В результате становится возможным протекание реакций слияния даже при температурах, характерных для звездных недр (107–108 K), что невозможно объяснить только классической физикой.
Вероятность ядерного взаимодействия удобно характеризовать через сечение реакции σ(E). Оно определяется как эффективная площадь, характеризующая вероятность столкновения:
$$ \sigma(E) = \frac{\pi \hbar^2}{2\mu E} \, T(E), $$
где T(E) — коэффициент прохождения барьера.
Для реакций легких ядер удобно вводить астрофизический фактор S(E), исключающий экспоненциально быстро убывающий туннельный множитель:
$$ \sigma(E) = \frac{S(E)}{E} \exp\left(-2\pi \eta\right), $$
где $\eta = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{\hbar v}$ — параметр Зоммерфельда, v — относительная скорость частиц. Фактор S(E) изменяется медленно с энергией и отражает внутренние ядерные эффекты.
Во многих ядерных процессах важнейшую роль играют резонансные состояния, возникающие при совпадении энергии налетающих частиц с энергией возбужденного уровня составного ядра. Вероятность реакции вблизи резонанса резко возрастает и описывается выражением Брейт–Вигнера:
$$ \sigma(E) = \frac{\pi \lambda^2}{\Gamma} \cdot \frac{\Gamma_\text{вх} \, \Gamma_\text{вых}}{(E - E_r)^2 + (\Gamma/2)^2}, $$
где Er — резонансная энергия, Γ — полная ширина резонанса, Γвх и Γвых — парциальные ширины по входящему и выходящему каналам.
Резонансные явления особенно важны для понимания термоядерных реакций углеродного и кислородного цикла в звёздах. Именно резонансные уровни обеспечивают возможность синтеза элементов, иначе крайне маловероятных при прямом туннельном механизме.
В условиях высокотемпературной плазмы необходимо усреднять сечение реакции по максвелловскому распределению энергий. Средняя величина, называемая термоядерным коэффициентом реакции ⟨σv⟩, имеет вид:
$$ \langle \sigma v \rangle = \left( \frac{8}{\pi \mu} \right)^{1/2} \frac{1}{(kT)^{3/2}} \int_0^\infty \sigma(E) E \, e^{-E/kT} \, dE. $$
Главный вклад в интеграл дают энергии в окрестности так называемого окна Гамова — узкой области энергий, где экспоненциальный спад вероятности туннелирования компенсируется экспонентой распределения Максвелла.
Квантовые свойства ядер — спины и статистическая природа (фермионы или бозоны) — существенно влияют на вероятность взаимодействия. Для частиц с полуцелым спином действует принцип Паули, ограничивающий доступные квантовые состояния. Так, вероятность слияния протонов подавлена, поскольку требуется спиновое преобразование в разрешённое состояние с нейтронным участием.
Кроме того, орбитальный момент l определяет характер проникновения через барьер. Для высоких l центробежный потенциал увеличивает эффективную высоту барьера, поэтому наибольшую вероятность реакции дают каналы с малыми значениями l, прежде всего s- и p-волны.
В квантовой теории перехода вероятность реакции выражается через матричный элемент взаимодействия:
Wfi ∼ |⟨ψf|Ĥint|ψi⟩|2,
где ψi и ψf — волновые функции начального и конечного состояний, а Ĥint — оператор ядерного взаимодействия.
Интерференция различных каналов (например, прямого и резонансного) приводит к сложной структуре энергетической зависимости сечений. Подобные эффекты лежат в основе астрофизических наблюдений аномальных зависимостей скоростей реакций.