Магнитные поверхности и магнитная координатная система

Основные понятия

В задачах термоядерного синтеза в магнитных ловушках (токамаки, стеллараторах) особое значение имеют магнитные поверхности — поверхности, к которым касательные линии магнитного поля находятся в пределах самой поверхности. Физический смысл этих поверхностей заключается в том, что заряженные частицы плазмы при их движении вдоль магнитных линий испытывают ограничение движения в направлении, перпендикулярном поверхности, что обеспечивает магнитное удержание плазмы.

Магнитные поверхности обладают следующими ключевыми характеристиками:

  • Касательные линии магнитного поля полностью лежат в поверхности, то есть B ⋅ n = 0, где n — нормаль к поверхности.
  • На магнитной поверхности сохраняется поток магнитного поля Ψ, который часто называют пото́ком через магнитную поверхность.

Поток через магнитные поверхности

Магнитный поток Ψ через поверхность S, ограниченную магнитной линией, определяется интегралом:

Ψ = ∫SB ⋅ dS.

Для тороидальных конфигураций (токамаки, стелларатора) удобно использовать разложение поля на тороидальную и полоидальную составляющие:

B = Btoroid + Bpoloid,

где:

  • Btoroid направлено вдоль большого радиуса тора,
  • Bpoloid направлено по малому радиусу тора (в поперечной плоскости).

Тогда поток через полоидальную сечение Ψt и через тороидальную сечение Ψp определяется как:

Ψt = ∫SBpoloid ⋅ dS,  Ψp = ∫SBtoroid ⋅ dS.

Магнитная координатная система

Для анализа движения частиц и устойчивости плазмы удобно вводить магнитные координаты (ψ, θ, ϕ), где:

  • ψ — радиальная координата, определяемая как магнитный поток через полоидальную поверхность,
  • θ — полоидальный угол, определяющий положение вдоль малой окружности тороида,
  • ϕ — тороидальный угол, определяющий положение вдоль большой окружности тора.

В такой системе линии магнитного поля имеют простой вид:

B = ∇ψ × ∇θ + q(ψ)∇ϕ × ∇ψ,

где q(ψ) — безразмерный коэффициент сдвига (safety factor), описывающий соотношение числа витков линии магнитного поля по тороидальному направлению к числу витков по полоидальному направлению:

$$ q(\psi) = \frac{d\phi}{d\theta}. $$

Значение q(ψ) является ключевым параметром устойчивости плазмы к различным магнитогидродинамическим возмущениям, включая крупномасштабные квазистабильные моды.

Геометрические свойства магнитных поверхностей

Магнитные поверхности обладают следующими особенностями:

  1. Тороидальная топология: Каждая поверхность имеет форму тора с гладкой кривизной, исключающей само пересечение линий магнитного поля.
  2. Симметрия: В идеализированном токамаке поверхность симметрична относительно оси тора; в стеллараторах симметрия более сложная, но сохраняется непрерывная связность.
  3. Конфайнмент частиц: Частицы, движущиеся вдоль магнитных линий, остаются связанными с одной магнитной поверхностью благодаря адибатическим инвариантам (магнитный момент μ = mv⟂2/2B сохраняется при медленных изменениях поля).

Связь с физикой плазмы

Использование магнитных поверхностей и магнитной координатной системы позволяет:

  • Выражать профили плазмы (плотность, температуру) в удобной радиальной координате ψ.
  • Анализировать устойчивость, используя модели MHD, где возмущения могут быть классифицированы по модам (m, n), где m — полоидальный номер моды, n — тороидальный.
  • Разрабатывать методы управления током и распределения плотности, например, для оптимизации профиля безопасности q(ψ).

Практическое использование

В практических расчетах токамаков и стеллараторах применяются следующие подходы:

  • Построение численных сеток вдоль магнитных поверхностей для симуляций транспорта плазмы.
  • Измерение магнитного потока и тока для калибровки модели магнитной конфигурации.
  • Определение областей островов магнитного поля и резонансных поверхностей, где q(ψ) принимает рациональные значения, что важно для предупреждения разрушительных магнитных бурь (disruptions).

Ключевые моменты

  • Магнитная поверхность: B ⋅ n = 0.
  • Магнитный поток через поверхность: Ψ = ∫SB ⋅ dS.
  • Магнитные координаты (ψ, θ, ϕ) упрощают описание движения плазмы.
  • Safety factor q(ψ) критичен для устойчивости.
  • Частицы ограничены движением вдоль магнитных линий на поверхности, что обеспечивает конфайнмент.
Оглавление