Магнитогидродинамические коды

Магнитогидродинамические (МГД) коды представляют собой численные инструменты моделирования поведения плазмы в условиях, где важную роль играют как гидродинамика, так и электромагнитные поля. Эти коды основаны на решении системы уравнений магнитогидродинамики, включающей уравнения сохранения массы, импульса, энергии и уравнение Максвелла для магнитного поля.

Ключевым элементом МГД-кодов является согласованное решение нелинейных уравнений с высокой степенью жесткости, что требует применения специальных численных методов для стабилизации расчетов и обеспечения точности при больших градиентах физических величин.

Уравнения МГД

Основные уравнения идеальной магнитогидродинамики имеют вид:

  1. Уравнение сохранения массы:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$

где ρ — плотность плазмы, v — скорость потока.

  1. Уравнение сохранения импульса:

$$ \frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \rho \mathbf{v}\mathbf{v} + p\mathbf{I} - \frac{\mathbf{B}\mathbf{B}}{\mu_0} + \frac{B^2}{2\mu_0}\mathbf{I} \right) = 0 $$

где p — давление, B — магнитное поле, μ0 — магнитная постоянная.

  1. Уравнение сохранения энергии:

$$ \frac{\partial E}{\partial t} + \nabla \cdot \left[ (E + p + \frac{B^2}{2\mu_0})\mathbf{v} - \frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{B})\mathbf{B}}{\mu_0} \right] = 0 $$

где E — полная энергия системы: кинетическая + внутренняя + магнитная.

  1. Уравнение индукции (Максвелла):

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \quad \text{при} \quad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 $$

Эта система описывает динамику плазмы как вязкой жидкости с магнитными свойствами.

Особенности численного моделирования

В МГД-кодах важны несколько ключевых аспектов:

  • Сохранение дивергенции магнитного поля: ∇ ⋅ B = 0. Любое нарушение этого условия может приводить к физически некорректным результатам. Для этого применяются методы вроде constrained transport или divergence cleaning.
  • Высокая скорость потока и сжатие: Плазма может развивать скорости, близкие к звуковой, что требует применения шокобезопасных схем (shock-capturing methods), таких как метод конечных объемов с решателями Riemann.
  • Жесткие источники: Термоядерные реакции в плазме добавляют сильные локальные источники энергии, что требует адаптивной схемы интегрирования по времени (например, implicit-explicit (IMEX) методы).

Типы МГД-кодов

  1. Идеальные МГД-коды Предполагают отсутствие вязкости и резистивности, работают с уравнениями идеальной МГД. Хорошо подходят для моделирования супермассивных звездных корон и высокотемпературной плазмы.

  2. Реалистические или резистивные МГД-коды Включают эффекты резистивности, теплопроводности и вихревого вязкого трения. Используются для моделирования плазмы в термоядерных реакторах, например, токамаках и стеллараторах.

  3. Многофизические МГД-коды Объединяют МГД с кинетическими моделями частиц, радиационным транспортом и химическими реакциями. Позволяют описывать неравновесную плазму и процессы, связанные с термоядерным синтезом.

Алгоритмы и схемы

  • Метод конечных объемов — обеспечивает сохранение интегральных величин на ячейку и корректно работает с разрывами плотности и давления.
  • Метод конечных элементов — эффективен для сложных геометрий, но требует более сложной реализации для МГД.
  • Метод спектрального разложения — высокоэффективен для гладких решений и глобальных моделей магнитного поля, часто используется в астрофизике.

Применение в термоядерном синтезе

МГД-коды критически важны для моделирования:

  • Токамаков и стеллараторов: расчет стабильности плазменного столба, предсказание магнитных островов и локальных возмущений.
  • Магнитной инерциальной компрессии: оценка сжатия плазмы в MIF (Magneto-Inertial Fusion) установках.
  • Моделирование взаимодействия лазерного излучения с плазмой: расчет силы, плотности и магнитных полей при высокоинтенсивной лазерной импульсной нагрузке.
  • Астрофизические процессы: моделирование звездной короны, солнечных вспышек, суперновых, где МГД поведение плазмы доминирует.

Валидация и тестирование МГД-кодов

Ключевым этапом является проверка корректности кодов через тестовые задачи, включающие:

  • Распространение магнитной волны (Alfvén wave).
  • Шоковые трубы и разрывы (Brio–Wu shock tube).
  • Моделирование магнитного ротора.
  • Сравнение с аналитическими решениями для идеальной МГД.

Эти тесты позволяют удостовериться, что код корректно учитывает сохранение массы, энергии и импульса, а также поддерживает нуль-дивергенцию магнитного поля.

Оглавление