Магнитогидродинамические волны и неустойчивости

В магнитогидродинамике (МГД) плазма рассматривается как проводящая жидкость, взаимодействующая с магнитным полем. Основные уравнения МГД включают:

  1. Уравнение движения (на основе уравнения Навье–Стокса для проводящей жидкости):

$$ \rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mathbf{J}\times \mathbf{B} + \rho \mathbf{g} + \mathbf{F}_{\text{дисс}}, $$

где ρ — плотность плазмы, v — скорость, p — давление, J — ток плотности, B — магнитное поле, g — ускорение силы тяжести, Fдисс — диссипативные силы (вязкость, резистивность).

  1. Уравнение индукции (отражает закон Фарадея для подвижной проводящей среды):

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) - \nabla \times (\eta \mathbf{J}), $$

где η — магнитная диффузия ($\eta = \frac{1}{\sigma \mu_0}$), σ — электропроводность, μ0 — магнитная проницаемость вакуума.

  1. Законы сохранения массы и энергии:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0, $$

$$ \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\rho v^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0} + \epsilon\right) + \nabla \cdot \mathbf{S} = 0, $$

где ϵ — внутренняя энергия, S — поток энергии (включая магнитный и кинетический вклад).

Магнитогидродинамические волны

МГД волны описывают малые возмущения в плазме под действием магнитного поля. Их свойства зависят от ориентации волнового вектора относительно магнитного поля и параметров среды.

1. Алфвеновские волны

  • Суть: Поперечные волны, распространяющиеся вдоль магнитного поля.
  • Скорость:

$$ v_A = \frac{B_0}{\sqrt{\mu_0 \rho}}, $$

где B0 — величина основного магнитного поля.

  • Особенности:

    • Возмущения скорости и магнитного поля перпендикулярны направлению распространения и основному полю.
    • Не сопровождаются изменением плотности (плотностные колебания отсутствуют).

2. Звуковые и магнитозвуковые волны

  • Продольные волны: Плазменные сжатия и разрежения.
  • Скорости волн:

$$ v_{f,s}^2 = \frac{1}{2} \left(v_A^2 + c_s^2 \pm \sqrt{(v_A^2 + c_s^2)^2 - 4 v_A^2 c_s^2 \cos^2\theta}\right), $$

где $c_s = \sqrt{\gamma p/\rho}$ — скорость звука в плазме, θ — угол между магнитным полем и направлением волны, vf — скорость fast-волны, vs — скорость slow-волны.

  • Особенности: В отличие от алфвеновских волн, сопровождаются колебаниями плотности и давления.

Неустойчивости плазмы

Неустойчивость возникает, когда возмущения в плазме растут с течением времени, а не затухают. Они играют ключевую роль в термоядерных реакторах и астрофизике.

1. Классические МГД неустойчивости

  • Неустойчивость Релея–Тейлора: Возникает на границе двух слоев с разной плотностью при наличии ускорения, направленного от тяжелого слоя к легкому.

    $$ \gamma = \sqrt{g k \frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_2 + \rho_1}}, $$

    где k — волновое число, ρ2 > ρ1, g — ускорение.

  • Неустойчивость Кельвина–Гельмгольца: Возникает при сдвиге скоростей двух слоев плазмы.

    $$ \gamma = k \frac{\Delta v (\rho_1 \rho_2)^{1/2}}{\rho_1 + \rho_2}. $$

2. Токовые и магнитные неустойчивости

  • Токовая неустойчивость (длинные токовые столбы, токи в токамаке): Связана с накоплением энергии магнитного поля, которая может высвободиться при нарушении равновесия.

  • Неустойчивость Тейлора–Кулона (sausage и kink): Волны деформируют токовую трубку:

    • Sausage — радиальное сжатие/расширение.
    • Kink — изгиб вдоль оси.

Линейный и нелинейный анализ

  • Линейный анализ: Предполагает малые возмущения, позволяет вычислить спектр частот и рост неустойчивостей.
  • Нелинейный анализ: Учитывает сильные возмущения, появление турбулентности, перекрестные взаимодействия волн и возможное формирование структур типа плазменных вихрей и токовых каналов.

Влияние параметров плазмы

  • Плотность и температура: Определяют скорость звука, индукцию и рост МГД неустойчивостей.
  • Магнитное поле: Усиление поля стабилизирует некоторые неустойчивости (например, Релея–Тейлора), но может усиливать токовые деформации.
  • Геометрия: Прямолинейные каналы, токовые трубки и замкнутые тороидальные конфигурации имеют различные спектры волн и рост неустойчивостей.

Применение в термоядерных реакторах

  • Токамаки и стеллараки: Контроль МГД волн критичен для удержания плазмы и предотвращения разрушительных выбросов энергии.
  • Диагностика: Измерение алфвеновских и магнитозвуковых волн позволяет оценивать температуру, плотность и распределение токов.
  • Стабилизация: Применение внешних магнитных полей и токов для подавления неустойчивостей повышает эффективность удержания плазмы.
Оглавление