Основные уравнения магнитогидродинамики

Магнитогидродинамика (МГД) — это теория движения проводящей жидкости или плазмы в магнитном поле, которая объединяет принципы гидродинамики и электродинамики. В контексте термоядерного синтеза МГД играет ключевую роль, так как позволяет описывать поведение высокотемпературной плазмы в магнитных ловушках и токамак-устройствах.

1. Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности описывает сохранение массы в движущейся плазме:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$

где:

  • ρ — плотность плазмы,
  • v — вектор скорости плазмы,
  • t — время.

Это уравнение фиксирует, что изменение массы в элементе объёма плазмы обусловлено потоком массы через границы этого объёма.

2. Уравнение движения (уравнение Навье–Стокса для плазмы)

Уравнение движения в МГД учитывает воздействие магнитного поля на движение проводящей жидкости:

$$ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} \right) = - \nabla p + \mathbf{J} \times \mathbf{B} + \rho \mathbf{g} + \mu \nabla^2 \mathbf{v} $$

где:

  • p — давление,
  • J — плотность тока,
  • B — магнитное поле,
  • g — вектор гравитационного ускорения,
  • μ — динамическая вязкость.

Ключевой момент: сила Лоренца J × B играет центральную роль, так как именно она обеспечивает магнитное удержание плазмы в термоядерных установках.

3. Уравнения Максвелла для МГД

В рамках МГД используют приближение к «квазистатическим» электромагнитным полям:

  1. Закон Ампера (без смещения тока для низкочастотных процессов):

$$ \mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B} $$

  1. Закон Фарадея индукции:

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = - \nabla \times \mathbf{E} $$

  1. Условие отсутствия магнитных монополей:

∇ ⋅ B = 0

  1. Ома в плазме (с учетом конечной проводимости σ):

$$ \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} = \frac{\mathbf{J}}{\sigma} $$

Ключевой момент: связь между токами и движением плазмы создаёт самоподдерживающиеся токи и магнитные поля, что является фундаментом для удержания термоядерной плазмы.

4. Уравнение индукции

Комбинируя закон Фарадея и модифицированную Омову, получаем уравнение индукции для плазмы:

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) + \eta \nabla^2 \mathbf{B} $$

где $\eta = \frac{1}{\mu_0 \sigma}$ — магнитная диффузия.

  • При идеальной проводимости (η → 0) магнитные линии «заморожены» в плазме — эффект магнитного замораживания.
  • Магнитная диффузия описывает рассеяние магнитного поля в проводящей среде при конечной проводимости.

5. Уравнение состояния

Для полной системы МГД необходимо замкнуть систему уравнений через уравнение состояния плазмы:

p = p(ρ, T)

В большинстве задач термоядерного синтеза используют идеальный газ:

$$ p = \rho \frac{k_B T}{m} $$

где:

  • T — температура плазмы,
  • kB — постоянная Больцмана,
  • m — средняя масса частиц.

Для плазмы часто применяют адiabатическое приближение:

$$ p \propto \rho^\gamma, \quad \gamma = \frac{5}{3} \text{ или } \frac{3}{2} \text{ для двухтемпературной плазмы} $$

6. Энергетическое уравнение плазмы

Энергетическое уравнение описывает баланс тепловой энергии:

$$ \rho \frac{d \epsilon}{dt} = - p \nabla \cdot \mathbf{v} + \eta J^2 + Q_\text{тепло} - Q_\text{радиация} $$

где ϵ — удельная внутренняя энергия, ηJ2 — джоулево нагревание, Qтепло и Qрадиация — источники и потери энергии.

Ключевой момент: именно этот баланс определяет устойчивость термоядерной плазмы в магнитных ловушках.

7. Сводная система уравнений МГД

Таким образом, полный набор уравнений МГД включает:

  1. Уравнение непрерывности: $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$
  2. Уравнение движения: ρ(∂v/∂t + (v ⋅ ∇)v) = −∇p + J × B + μ∇2v
  3. Уравнение индукции: $\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) + \eta \nabla^2 \mathbf{B}$
  4. Уравнение состояния: p = p(ρ, T)
  5. Энергетическое уравнение: ρdϵ/dt = −p∇ ⋅ v + ηJ2 + Qтепло − Qрадиация
  6. Дополнительно: ∇ ⋅ B = 0, $\mathbf{J} = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B}$

Эта система описывает взаимодействие плазмы и магнитного поля, что является фундаментальной основой для анализа термоядерных реакторов, устойчивости плазменных конфигураций и процессов переноса энергии в магнитно-удерживаемой плазме.

Оглавление