Равновесие плазмы в магнитных ловушках является фундаментальной проблемой термоядерного синтеза, так как устойчивое удержание горячей плазмы определяет возможность поддержания реакций синтеза на достаточное время. Плазма — это ионизованный газ, обладающий коллективными свойствами, которые существенно отличаются от свойств нейтрального газа. Основная задача магнитного удержания заключается в компенсации давления плазмы с помощью магнитных сил, создаваемых внешними полями.
Плазма в магнитном поле подчиняется уравнению движения:
$$ \rho \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \mathbf{J} \times \mathbf{B} - \nabla p $$
где ρ — плотность плазмы, v — скорость плазмы, J — плотность тока, B — магнитное поле, p — давление плазмы.
Ключевой момент: для устойчивого равновесия необходимо, чтобы сила давления плазмы ∇p была уравновешена магнитной силой J × B. Это приводит к магнитной гидродинамической (МГД) балансировке:
∇p = J × B
Эта формула является фундаментальной для анализа статического равновесия плазмы в любой конфигурации магнитного удержания.
Линейные магнитные ловушки (Mirror traps) Линейные ловушки создают поле, которое увеличивается к концам цилиндра, создавая магнитные «зеркала». Частицы с определённым углом вращения отражаются от зон высокого поля.
Формула условия отражения:
$$ \sin^2 \theta_m = \frac{B_{\min}}{B_{\max}} $$
где θm — минимальный угол между скоростью частицы и осью магнитного поля, Bmin и Bmax — минимальное и максимальное магнитное поля.
Ключевой момент: Линейные ловушки имеют ограничение по потере частиц через концы — так называемый «loss cone». Это существенно ограничивает время удержания плазмы.
Тороидальные конфигурации (Tokamak, Stellarator) В тороидальных устройствах поле закручено, что предотвращает прямой выход частиц из ловушки.
МГД равновесие в тороиде описывается уравнением Ложенца (Grad-Shafranov equation):
$$ \Delta^* \psi = -\mu_0 R^2 \frac{dp}{d\psi} - \frac{1}{2} \frac{dF^2}{d\psi} $$
где ψ — магнитный поток, p(ψ) — давление плазмы, F(ψ) = RBϕ — тороидальный компонент магнитного поля, Δ* — оператор Лапласа для тороидальной системы координат.
Ключевой момент: Тороидальные конфигурации позволяют достигать длительного удержания плазмы благодаря свёртке траекторий частиц, минимизируя потери через магнитные зеркала.
1. Параметр бета (β) Параметр β характеризует отношение давления плазмы к магнитному давлению:
$$ \beta = \frac{p}{B^2/2\mu_0} $$
Высокое β желаемо для экономичного использования магнитного поля, но чрезмерное значение ведёт к МГД-неустойчивостям.
2. Плотность и температура Уравновешенное состояние требует совместного подбора плотности n и температуры T для обеспечения давления p = nkBT, которое не превышает пределов устойчивости магнитной конфигурации.
Удержание плазмы осложняется различными видами возмущений:
Условие устойчивости для линейной ловушки:
$$ \frac{d}{ds} \left( \frac{p}{B} \right) \le 0 $$
где s — координата вдоль оси магнитного поля.
Ключевой момент: контроль профиля давления и магнитного поля критически важен для подавления МГД-возмущений.
Для долгосрочного удержания плазмы важно формировать профили:
В tokamak’ах и stellarator’ах профили настраиваются с помощью тороидального тока и корректирующих магнитных катушек.
Равновесие — это не статическое состояние; плазма подвержена транспортным процессам:
Ключевой момент: реальное удержание плазмы определяется не только равновесием сил, но и скоростью потерь частиц и энергии.