Равновесие плазмы в тороидальных конфигурациях

Равновесие плазмы в тороидальных конфигурациях является фундаментальным аспектом термоядерного синтеза, поскольку стабильность и удержание горячей плазмы определяют эффективность работы термоядерного реактора. Тороидальные устройства, такие как токамаки и стеллара­торы, используют сложное сочетание магнитных полей для удержания плазмы, предотвращения её контакта с стенками и минимизации потерь энергии.

Магнитная конфигурация и баланс сил

В тороидальных конфигурациях плазма удерживается с помощью магнитного поля, создаваемого совокупностью тороидального и полоидального компонентов.

  • Тороидальное поле Bϕ создается токами в магнитных катушках, охватывающих тороид. Оно определяет основную траекторию движения заряженных частиц.
  • Полоидальное поле Bθ создается током, протекающим через плазму, и обеспечивает закручивание магнитных силовых линий, препятствуя разлёту частиц за пределы тороида.

Равновесие плазмы описывается уравнением магнитогидродинамики (МГД) в статическом случае:

J × B = ∇p

где J — плотность тока плазмы, B — магнитное поле, p — давление плазмы. Это уравнение отражает баланс сил давления плазмы и магнитного напряжения, предотвращающий разрыв плазменного столба.

Уравнение Град–Шафрана

Для тороидальной симметрии и осевого равновесия используется уравнение Град–Шафрана, описывающее распределение магнитного потока ψ в полярных координатах (R, Z):

$$ \Delta^* \psi = -\mu_0 R^2 \frac{dp}{d\psi} - F(\psi) \frac{dF}{d\psi} $$

где:

  • $\Delta^* \psi = R \frac{\partial}{\partial R} \left( \frac{1}{R} \frac{\partial \psi}{\partial R} \right) + \frac{\partial^2 \psi}{\partial Z^2}$ — оператор Лапласа в тороидальных координатах;
  • F(ψ) = RBϕ — функция, связанная с тороидальным полем;
  • p(ψ) — давление плазмы как функция магнитного потока.

Ключевой момент: решение уравнения Град–Шафрана позволяет определить форму магнитных поверхностей и профили давления и тока, обеспечивающие устойчивое равновесие.

Параметр β и эффективность удержания плазмы

Параметр β — отношение давления плазмы к давлению магнитного поля:

$$ \beta = \frac{2 \mu_0 p}{B^2} $$

  • Высокое значение β указывает на эффективное использование магнитного поля, но сопровождается увеличением риска магнитных нестабильностей.
  • В токамаках β обычно ограничивается величинами 2–5% для осевого поля, хотя современные схемы с оптимизированной конфигурацией могут достигать 10–15%.

Магнитные поверхности и топология плазмы

В тороидальных устройствах магнитные поверхности представляют собой вложенные тороиды, на которых частицы движутся вдоль силовых линий, не контактируя со стенками.

  • Площадь поверхности зависит от профиля тока и формы катушек.
  • Крученность (трансформация) магнитных линий определяется через число витков по полоидальной и тороидальной направлениям, что влияет на стабильность плазмы и сопротивление диффузии частиц.

Типы равновесия и профили давления

Равновесие может быть центрально-сфокусированным или широко распределённым:

  • Центральное давление выше, чем на периферии, что характерно для высокоплотных плазменных столбов.
  • Широкое распределение давления повышает устойчивость к различным видам МГД-нестабильностей.

Важной характеристикой является профиль плотности тока, который может быть пикообразным или плоским, что напрямую влияет на форму магнитных поверхностей и развитие устойчивости к крутильным (клинчевым) и инерционным (баллонным) модам.

Структуры равновесия в стеллараторах

В отличие от токамаков, стелларатора обеспечивают равновесие за счёт внешних магнитных полей без необходимости индукционного тока в плазме.

  • Сложная 3D геометрия катушек создает постоянные закрученные магнитные линии, на которых плазма удерживается статически.
  • Это позволяет избежать ряда токовых нестабильностей, характерных для токамаков, но требует точной расчётной оптимизации формы катушек и профилей давления.

Факторы устойчивости

Для поддержания долгого удержания плазмы учитываются следующие факторы:

  1. Магнитные кривизны: неправильная геометрия тороида приводит к локальным зонам слабого удержания.
  2. Токи в плазме: пиковые токи могут вызвать кручение и резонансные линии разрыва магнитных поверхностей.
  3. Профиль давления и β: слишком высокое давление при низкой стабилизации магнитного поля приводит к баллонным и кручильным нестабильностям.
  4. Трение частиц и диффузия: колебания магнитных линий способствуют миграции частиц и потере энергии.
Оглавление