Статистическая физика применяется к ядерным системам для описания их коллективного поведения в условиях высокой плотности и температуры, когда невозможно рассматривать каждое взаимодействие на микроуровне по отдельности. В таких системах важнейшее значение имеют вероятностные распределения, ансамбли и термодинамические характеристики, которые позволяют связать микроскопические свойства ядерных взаимодействий с макроскопическими параметрами среды.
Ядра и их ансамбли в плазме термоядерного синтеза рассматриваются как многочастичные системы, состоящие из протонов, нейтронов и электронов, взаимодействующих через сильное ядерное и электромагнитное взаимодействие. Характер поведения определяется как свойствами отдельных частиц, так и их статистическим распределением.
При анализе термоядерных процессов часто используется канонический ансамбль, описывающий систему при фиксированных температуре T, объёме V и числе частиц N. Вероятность нахождения системы в состоянии с энергией Ei задаётся распределением Больцмана:
$$ P_i = \frac{e^{-E_i/kT}}{Z}, $$
где k — постоянная Больцмана, T — температура системы, а Z — статистическая сумма:
Z = ∑ie−Ei/kT.
Для ядерных систем, участвующих в термоядерных реакциях, это распределение определяет вероятность нахождения ядер в состояниях с различными энергиями и, следовательно, вероятность их преодоления кулоновского барьера за счёт туннельного эффекта.
В условиях термоядерного синтеза основное значение имеет распределение скоростей ядер, подчиняющееся закону Максвелла–Больцмана. Функция распределения для трёхмерного случая имеет вид:
$$ f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}, $$
где m — масса частицы, v — скорость.
Данное распределение определяет спектр кинетических энергий в системе. Именно его «хвост», отвечающий за наличие частиц с энергиями значительно выше средней, играет ключевую роль в обеспечении возможности ядерного синтеза при конечных температурах. Эти высокоэнергетические ядра имеют шанс преодолеть кулоновский барьер и вступить в реакцию.
Вероятность протекания ядерной реакции определяется не только распределением энергий частиц, но и вероятностью туннелирования через кулоновский барьер. Для её описания вводится так называемая гамовская вероятность проникновения:
$$ P(E) \sim \exp\left(-\frac{b}{\sqrt{E}}\right), $$
где b зависит от заряда ядер и фундаментальных констант.
В комбинации с распределением Максвелла–Больцмана эта вероятность образует гамовское окно — интервал энергий, в котором вероятность реакции максимальна. Оно определяется условием баланса между уменьшением числа частиц с высокими энергиями и увеличением проницаемости кулоновского барьера при росте энергии.
Важной особенностью ядер является наличие дискретного спектра возбуждённых состояний. Вероятность их заселения при высоких температурах определяется статистической суммой:
Z = ∑j(2Jj + 1)e−Ej/kT,
где Jj — спин состояния, Ej — энергия возбуждения.
Эта функция напрямую влияет на распределение частиц по уровням и на сечения реакций. При высоких температурах заметную роль начинают играть возбуждённые состояния, которые открывают дополнительные каналы для протекания термоядерных реакций.
Ядерные системы в условиях термоядерного синтеза описываются не только через распределение энергий, но и через макроскопические параметры — энергию, давление и энтропию. Энтропия, как мера числа возможных микросостояний, имеет ключевое значение для понимания устойчивости системы.
Для идеального газа ядер энтропия выражается как:
$$ S = Nk \left( \ln \frac{V}{N\lambda^3} + \frac{5}{2} \right), $$
где $\lambda = \sqrt{\frac{2\pi \hbar^2}{mkT}}$ — термическая длина волны де Бройля.
В условиях высоких температур и плотностей, характерных для термоядерного синтеза, квантовые эффекты становятся существенными, и стандартные формулы идеального газа требуют модификации с учётом квантовой статистики.
Протоны и нейтроны — фермионы, подчиняющиеся статистике Ферми–Дирака:
$$ f(E) = \frac{1}{e^{(E-\mu)/kT} + 1}, $$
где μ — химический потенциал. В условиях высокой плотности ядерная материя приближается к вырожденному ферми-газу, что существенно влияет на её тепловые и транспортные свойства.
При этом коллективные возбуждения ядерной среды (например, мезонные поля или фононные состояния в ядерной материи) могут описываться статистикой Бозе–Эйнштейна:
$$ f(E) = \frac{1}{e^{(E-\mu)/kT} - 1}. $$
Таким образом, в ядерных системах одновременно реализуются оба типа квантовой статистики, что приводит к сложному многоуровневому описанию их термодинамики.
Важнейшим приложением статистической физики является ядерная статистическая модель (модель Хаузера–Фешбаха), которая используется для описания вероятности протекания реакций в условиях большого числа доступных конечных состояний.
Согласно этой модели, ядро-промежуточный комплекс, образующийся при захвате частицы, может распадаться на множество различных каналов, и вероятность выбора того или иного канала определяется статистическим распределением по уровням. Эта теория лежит в основе расчётов реакционных сечений в астрофизике и в исследованиях управляемого термоядерного синтеза.