Тензорный анализ в криволинейных координатах

Тензорный анализ является ключевым инструментом в современной физике, включая теорию термоядерного синтеза, где описываются сложные взаимодействия плазмы, магнитные поля и динамика частиц. Криволинейные координаты позволяют естественно учитывать геометрию токамаков, стеллара и других замкнутых магнитных конфигураций, где прямолинейная декартова система координат неэффективна.

1. Криволинейные координаты и базисные векторы

Пусть система координат (q¹, q², q³) является криволинейной. Векторы базиса определяются как частные производные радиус-вектора r по координатам:

$$ \mathbf{e}_i = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q^i}, \quad i = 1,2,3 $$

Эти векторы, в общем случае, не образуют ортонормированного базиса:

e_i ⋅ e_j = g_ij

где g_ij — компоненты метрического тензора. Метрический тензор полностью задаёт геометрию пространства и позволяет вычислять скалярные произведения, длины и углы.

В дополнение вводятся контравариантные базисные векторы eⁱ, которые удовлетворяют условию биортогональности:

e_i ⋅ e^j = δ_i^j

2. Тензоры в криволинейных координатах

Тензор второго ранга T может иметь как ковариантные T_ij, так и контравариантные T^ij компоненты, а также смешанные Tⁱ_j:

T = T^ije_i ⊗ e_j = T_ijeⁱ ⊗ e^j

Применение тензоров в физике плазмы особенно важно для описания:

напряжённости магнитного поля (B),
тензора напряжений и давления (P_ij),
диффузионных потоков и проводимости.

3. Дифференциальные операции в криволинейной системе

В криволинейных координатах классические операции векторного анализа (градиент, дивергенция, ротор) приобретают тензорный вид с учётом метрического тензора:

Градиент скалярного поля ϕ:

$$ \nabla \phi = \mathbf{e}^i \frac{\partial \phi}{\partial q^i} $$

Дивергенция векторного поля A:

$$ \nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^i} \left( \sqrt{g} A^i \right) $$

где g = det (g_ij) — детерминант метрического тензора.

Ротор векторного поля A:

$$ (\nabla \times \mathbf{A})^i = \frac{1}{\sqrt{g}} \epsilon^{ijk} \frac{\partial A_k}{\partial q^j} $$

где ϵ^ijk — тензор Леви-Чивиты в криволинейной системе.

Эти выражения обеспечивают корректное описание динамики плазмы и магнитных полей в геометрически сложных конфигурациях.

4. Ковариантная производная

Для описания дифференцирования тензоров в криволинейной системе вводится ковариантная производная ∇_i:

$$ \nabla_k T^i{}_j = \frac{\partial T^i{}_j}{\partial q^k} + \Gamma^i_{kl} T^l{}_j - \Gamma^l_{kj} T^i{}_l $$

где Γ_jkⁱ — символы Кристоффеля второго рода:

$$ \Gamma^i_{jk} = \frac{1}{2} g^{il} \left( \frac{\partial g_{lj}}{\partial q^k} + \frac{\partial g_{lk}}{\partial q^j} - \frac{\partial g_{jk}}{\partial q^l} \right) $$

Ковариантная производная учитывает искривление координатной сетки и необходима для записи законов сохранения в плазме, например, уравнений Магнитогидродинамики (МГД) в токамаке.

5. Применение к тензору давления и анизотропной плазме

В термоядерной плазме давление часто анизотропно. Ковариантный тензор давления P_ij описывает напряжения в разных направлениях:

P = P_∥b ⊗ b + P_⟂(I − b ⊗ b)

где b = B/|B| — единичный вектор вдоль магнитного поля. В криволинейных координатах компоненты P_ij корректно учитывают геометрию магнитных линий, что важно при моделировании термоядерного синтеза в токамаке.

6. Тензоры в уравнениях гидродинамики и МГД

Уравнения МГД в криволинейной системе записываются через ковариантные производные:

Уравнение движения плазмы:

$$ \rho \frac{D v^i}{D t} = -\nabla^i P + J_j F^{ij} + \cdots $$

Уравнение Максвелла:

∇_jF^ij = μ₀Jⁱ

где F^ij — тензор электромагнитного поля, Jⁱ — текущий вектор, ρ — плотность плазмы.

Использование криволинейных координат позволяет точно описывать конфигурации магнитных полей с тороидальной и полоидальной структурой.

7. Преобразование между системами координат

Компоненты тензоров в разных системах координат связаны через якобианы преобразования:

$$ T'^{i'j'} = \frac{\partial q^{i'}}{\partial q^i} \frac{\partial q^{j'}}{\partial q^j} T^{ij} $$

Это позволяет переводить результаты моделирования из локальной криволинейной системы в глобальную или в удобную для вычислений ортонормированную систему.

8. Методы вычислений и численное применение

Тензорный анализ в криволинейных координатах активно используется в численных моделях термоядерного синтеза:

Финитные объёмы и элементы — для интегрирования уравнений МГД на сетках, повторяющих криволинейную геометрию.
Спектральные методы — позволяют учитывать кривизну через моды и базисные функции.
Адаптивные сетки — позволяют оптимизировать расчёт плазмы, где плотность и магнитное поле имеют сильные градиенты.

Корректная реализация тензорных операций гарантирует сохранение физических законов, таких как закон сохранения массы, импульса и энергии, даже на сложной сетке.