Токамак как магнитогидродинамическая система

Токамак представляет собой тороидальную камеру, в которой плазма удерживается сложной конфигурацией магнитного поля. Основная цель магнитного удержания — предотвратить контакт высокотемпературной плазмы с материалами стенок. Поле в токамаке складывается из двух компонент:

  1. Тороидальное магнитное поле Bt, создаваемое внешними тороидальными катушками. Оно направлено вдоль замкнутого контура, который повторяет форму тора. Тороидальное поле обеспечивает основное удержание плазмы, предотвращая её расширение в радиальном направлении.

  2. Полоидальное магнитное поле Bp, создаваемое током, протекающим в плазме. Полоидальное поле скручивает линии тока, формируя магнитную спираль, благодаря чему частицы плазмы движутся по закрученным траекториям и остаются внутри тороида.

Комбинация этих двух компонентов формирует геликоидальные магнитные поверхности, называемые магнитными поверхностями удержания, которые являются ключевым элементом стабильности плазмы.

Уравнения магнитогидродинамики токамака

Для описания плазмы в токамаке применяется магнитогидродинамическая (МГД) модель, объединяющая законы гидродинамики и электромагнетизма. Основные уравнения:

  1. Уравнение движения плазмы (уравнение Эйлера с электромагнитной силой Лоренца):

$$ \rho \frac{d \mathbf{v}}{dt} = -\nabla p + \mathbf{j} \times \mathbf{B} + \rho \mathbf{g} + \mathbf{R}_{\text{колл}} $$

где ρ — плотность плазмы, v — скорость, p — давление, j — плотность тока, B — магнитное поле, Rколл — коллизионные эффекты.

  1. Уравнения Максвелла для магнитного поля:

∇ ⋅ B = 0,  ∇ × B = μ0j

  1. Уравнение непрерывности:

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 $$

  1. Уравнение состояния плазмы:

Чаще всего используется идеальный газ: p = nkBT, где n — концентрация частиц, T — температура, kB — постоянная Больцмана.

  1. Индуктивное уравнение для магнитного поля (закон Фарадея-Омм):

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) - \nabla \times (\eta \mathbf{j}) $$

где η — электрическое сопротивление плазмы. В идеальной МГД (η → 0) магнитное поле «заморожено» в плазме.

Эти уравнения позволяют анализировать стабильность, распределение тока и динамику магнитных поверхностей.

Плазменные токи и их роль

В токамаке центральным элементом является ток плазмы, создающий полоидальное магнитное поле. Основные функции:

  • Поддержание магнитной конфигурации: ток формирует полоидальное поле, которое совместно с тороидальным создает безопасные магнитные поверхности.
  • Обогрев плазмы через джоулевы потери: протекание тока вызывает внутренний нагрев (токовый разогрев), который важен на начальной стадии.
  • Воздействие на устойчивость плазмы: распределение тока влияет на рост магнитогидродинамических возмущений, таких как токовые клыки и моды.

Ток плазмы обычно создается индуцированным методом (трансформаторный принцип), но для стационарной работы токамаков применяются также внешние источники тока: микроволновое или нейтрально-лучевое нагнетание.

Магнитная стабилизация и МГД-неустойчивости

Несмотря на «замораживание» поля в плазме, токамак подвержен различным МГД-неустойчивостям, которые ограничивают плотность и температуру плазмы:

  1. Кольцевые моды (kink instability): возникает при высоком токе и слабом внешнем поле. Плазменный столб «изгибается» наружу.
  2. Баллонные моды (ballooning instability): локальные выпячивания плазмы вдоль больших радиусов тора из-за давления.
  3. Токовые клыки (tearing modes): возникают при расслоении магнитных поверхностей; приводят к формированию островов магнитного поля, ухудшающих удержание.

Для подавления этих неустойчивостей используют профилирование тока, токовые стабилизаторы, а также активные внешние магнитные катушки.

Энергетический баланс и ограничение плазмы

Энергетический баланс в токамаке определяется конкуренцией между:

  • Источниками энергии: джоулев нагрев, высокоэнергетические нейтральные пучки, радиочастотное нагнетание.
  • Потерями энергии: теплопроводность через магнитные линии, радиационное излучение, столкновения с нейтральными атомами на границе.

Для достижения условий термоядерного синтеза необходимо, чтобы параметр Ло́ва (nτT) превысил критическое значение, обеспечивая достаточное время удержания и температуру для реакции D–T синтеза.

Взаимодействие плазмы с магнитным полем: транспорт и диффузия

Плазма в токамаке демонстрирует анизотропный транспорт:

  • Поперечная диффузия: движение частиц перпендикулярно линиям магнитного поля сильно подавлено (D⟂ ≪ D∥).
  • Длиннолинейная проводимость: вдоль магнитных линий транспорт намного выше.
  • Турбулентные процессы: микромасштабные возмущения создают аномально высокий поперечный транспорт, ограничивая эффективность удержания.

Для анализа используют модели больцмановской кинетики, приближенные к МГД, и численные расчеты на суперкомпьютерах.

Оглавление