Уравнение Власова является фундаментальным инструментом в описании эволюции распределения частиц в плазме без учета столкновений. Оно относится к классу кинетических уравнений, описывающих поведение системы заряженных частиц под действием электромагнитного поля. В отличие от уравнения Больцмана, где учитываются столкновения частиц, уравнение Власова применимо для разреженной плазмы, где коллективные взаимодействия играют доминирующую роль.
Общая форма уравнения Власова для одномерного распределения f(r, v, t) имеет вид:
$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{q}{m} \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right) \cdot \nabla_{\mathbf{v}} f = 0, $$
где:
Ключевым моментом является самосогласованное поле, которое определяется через распределение частиц. Электрическое поле, например, подчиняется уравнению Пуассона:
$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho(\mathbf{r},t)}{\varepsilon_0}, \quad \rho(\mathbf{r},t) = \int q f(\mathbf{r},\mathbf{v},t) \, d^3v. $$
Для анализа устойчивости плазмы обычно рассматривают малые возмущения функции распределения:
f(r, v, t) = f0(v) + δf(r, v, t), |δf| ≪ |f0|.
Линейзация уравнения Власова приводит к:
$$ \frac{\partial \delta f}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_{\mathbf{r}} \delta f + \frac{q}{m} \delta \mathbf{E} \cdot \nabla_{\mathbf{v}} f_0 = 0. $$
Здесь δE — возмущение электрического поля. Связь между δf и δE обеспечивается через линейное уравнение Пуассона:
$$ \nabla \cdot \delta \mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int q \delta f \, d^3v. $$
Эта линейная система лежит в основе теории плазменных колебаний, включая плазменные волны Ландау.
Предположим, что возмущения имеют форму планарной волны:
δf, δE ∼ ei(k ⋅ r − ωt).
Тогда линейное уравнение Власова приводит к дисперсионному уравнению для плазмы:
$$ 1 + \frac{q^2}{\varepsilon_0 m} \int \frac{\mathbf{k} \cdot \nabla_{\mathbf{v}} f_0(\mathbf{v})}{\omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}} \, d^3v = 0. $$
Это ключевое уравнение позволяет определить частоты и темпы роста/затухания колебаний. В случае одномерного распределения Максвелла f0(v) ∼ exp (−v2/vT2) дисперсионное соотношение даёт известное Ландау-затухание:
ω = ωp + iγ, γ < 0,
где $\omega_p = \sqrt{n_0 q^2 / \varepsilon_0 m}$ — плазменная частота, а γ — коэффициент затухания, зависящий от наклона распределения частиц.
В нелинейном случае уравнение Власова допускает формирование коherent structures, таких как:
Нелинейные решения анализируются либо численными методами, либо с использованием методов псевдопотенциала и моментных разложений, где распределение описывается через плотность, среднюю скорость и давление. Для одномерного случая часто используется метод характеристик:
$$ \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{v}, \quad \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{q}{m} \mathbf{E}(\mathbf{r},t), $$
который позволяет строить траектории частиц и восстанавливать распределение.
Для практических расчётов часто применяются:
Метод частиц в ячейках (Particle-In-Cell, PIC): Симулируются траектории частиц, а поля рассчитываются на сетке.
Метод дискретизации распределения (Eulerian approach): Пространство (r, v) делится на ячейки, и уравнение решается численно с помощью схем конечных разностей или спектральных методов.
Гибридные методы: Соединяют кинетическую модель для электронов и МГД-описание для ионов.
Эти методы позволяют моделировать устойчивость токамаков, лазерную плазму, плазменные ускорители и другие высокотемпературные системы.
Уравнение Власова служит центральным математическим инструментом для изучения кинетики плазмы, позволяя предсказывать динамику системы, формировать модели устойчивости и разрабатывать численные методы для сложных практических задач в области термоядерного синтеза.