Вариационные принципы играют фундаментальную роль в физике плазмы, позволяя формулировать уравнения движения, законы сохранения и условия устойчивости систем плазмы на основе минимизации или стационарности определённых функционалов. Их использование особенно эффективно в случаях, когда сложность плазменной динамики делает прямое решение систем уравнений Максвелла и гидродинамических или кинетических уравнений затруднительным.
Ключевая идея вариационных подходов заключается в поиске стационарного значения функционала ℒ[ϕ], зависящего от полей и их производных, где ϕ обозначает совокупность физических переменных системы (например, плотность заряда, ток, потенциалы). Стационарность функционала приводит к вариационным уравнениям, которые эквивалентны исходным уравнениям движения.
В гидродинамической модели плазмы основными переменными являются плотность частиц n(r, t), скорость v(r, t) и давление p(r, t). Введение вариационного принципа осуществляется через лагранжиан:
$$ \mathcal{L} = \int \mathrm{d}^3 r \left[ \frac{1}{2} m n \mathbf{v}^2 - \epsilon(n) - n q \phi \right], $$
где:
Применение принципа наименьшего действия δ∫ℒ dt = 0 приводит к уравнениям гидродинамики плазмы в поле ϕ с учётом электрических и магнитных взаимодействий.
Для кинетических моделей, описывающих распределение частиц через функцию f(r, v, t), вариационный принцип формулируется через функционал действия:
S[f] = ∫dt d3r d3v ℒ(f, ∂tf, ∇f),
где лагранжиан ℒ включает кинетическую энергию частиц, их взаимодействие через поля и возможные коллизионные термины. Варьирование δS/δf = 0 приводит к уравнению Власова или его модификациям для плазмы, включая эффекты магнитного поля и электромагнитных волн.
Ключевое преимущество такого подхода — возможность естественно вводить ограничения, такие как сохранение числа частиц, энергии и импульса, через лагранжевы множители в функционале.
В МГД подходе плазма рассматривается как проводящая жидкость, взаимодействующая с магнитным полем. Лагранжиан для идеальной МГД-плазмы можно записать как:
$$ \mathcal{L}_{\text{MHD}} = \int \mathrm{d}^3 r \left[ \frac{1}{2} \rho \mathbf{v}^2 - \epsilon(\rho, s) - \frac{\mathbf{B}^2}{2 \mu_0} \right], $$
где ρ — плотность, s — энтропия, B — магнитное поле, μ0 — магнитная постоянная.
Стационарность действия δ∫ℒMHDdt = 0 при фиксированных граничных условиях и расходящихся потоках приводит к уравнениям идеальной МГД, включая закон Фарадея и уравнение движения жидкости с магнитными силами Лоренца.
Вариационный подход также позволяет анализировать устойчивость магнитных конфигураций через функционал свободной энергии, что критично для токамаков и стеллараторов. Стационарность функционала энергии при малых возмущениях даёт критерии устойчивости, включая известные условия энергии (energy principle) Кайфмана и Фридберга.
Плазма поддерживает широкий спектр линейных и нелинейных волн: плазменные, ионно-звуковые, альвеновские и электромагнитные. Вариационные методы позволяют формулировать волновые уравнения через лагранжианы вида:
$$ \mathcal{L}_{\text{wave}} = \frac{1}{2} \left( \varepsilon_0 \mathbf{E}^2 - \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}^2 \right) + \mathbf{J} \cdot \mathbf{A}, $$
где E и B — электрическое и магнитное поля, A — векторный потенциал, а J — ток плазмы. Варьирование относительно A и ϕ даёт уравнения Максвелла с источниками в плазме, что обеспечивает корректное описание линейных и слабонелинейных колебаний.
Такой подход особенно полезен для изучения взаимодействия волн и частиц, включая резонансные процессы и нестационарные волновые пакеты, поскольку лагранжиан сохраняет полные законы сохранения, включая энергию и импульс.
Вариационные методы не только формируют фундаментальные уравнения, но и служат основой для численного моделирования плазмы. Основные направления:
Эти методы обеспечивают точное соблюдение физических законов даже при сложной геометрии и многомасштабных процессах, характерных для термоядерной плазмы.