Затухание Ландау и волны в плазме

Затухание Ландау представляет собой фундаментальное явление в физике плазмы, связанное с диссипацией энергии волн в collisionless (без столкновений) плазме через резонансное взаимодействие с частицами. В отличие от классического вязкого затухания, Ландау-затухание не требует столкновений частиц; оно возникает исключительно за счёт резонансного обмена энергии между волной и движущимися вдоль поля частицами, скорость которых близка к фазовой скорости волны.

Механизм Ландау-затухания

Пусть вдоль оси x распространяется продольная электростатическая волна с потенциалом ϕ(x, t) = ϕ0ei(kx − ωt). Частицы, находящиеся вблизи фазовой скорости волны v ≈ ω/k, испытывают устойчивый или неустойчивый ускоряющий эффект от поля. При этом:

  • Частицы с v < ω/k ускоряются, получая энергию от волны.
  • Частицы с v > ω/k тормозятся, отдают энергию волне.

Если распределение частиц по скоростям f0(v) монотонно убывает с увеличением v, то в сумме средняя энергия частиц, находящихся в резонансе, больше забирает, чем отдаёт волне, что приводит к затуханию амплитуды волны. Это и есть классический Ландау-эффект.

Математически это описывается линейным решением уравнения Власова для электронной плазмы:

$$ \frac{\partial f}{\partial t} + v \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{e}{m} E \frac{\partial f}{\partial v} = 0 $$

с условием:

$$ \frac{\partial E}{\partial x} = \frac{e}{\varepsilon_0} \int (f - f_0) dv $$

Линейный анализ приводит к дисперсионному соотношению Ландау:

$$ 1 + \frac{\omega_p^2}{k^2} \int \frac{\partial f_0 / \partial v}{v - \omega/k} dv = 0 $$

где ωp — плазменная частота. Интеграл берётся с правилом обхода сингулярности по Коши, что даёт комплексное значение частоты ω = ωr + iγ, где γ < 0 — коэффициент затухания.

Физическая интерпретация

Ландау-затухание можно интерпретировать как коллективный резонанс. Волна “видит” частицу как временный накопитель энергии. Те частицы, которые движутся синхронно с волной, либо ускоряются, либо замедляются, создавая обмен энергии без столкновений.

  • В случае максимальной устойчивости распределение Ферми или Максвелла создаёт плавное затухание.
  • Для неравновесных распределений возможно наоборот возбуждение волны, что лежит в основе неустойчивостей плазмы.

Волновые процессы в плазме

В плазме существует несколько типов волн, каждая из которых подвержена Ландау-затуханию:

  1. Электростатические продольные волны (плазменные волны)

    • Частицы реагируют на возмущения поля по оси распространения.
    • Для холодной плазмы частота ω ≈ ωp.
    • В тепловой плазме возникает затухание Ландау, интенсивность которого зависит от температурного распределения.

  2. Ионные акустические волны

    • Волны низкой частоты, где участвуют ионы и электроны.

    • Затухание Ландау для ионов слабое при Te ≫ Ti, сильное для электронов.

    • Дисперсионное соотношение:

      $$ \omega = k c_s \left(1 + i \sqrt{\frac{\pi}{8}} \frac{m_e}{m_i} \frac{T_e}{T_i} \right) $$

      где cs — скорость звука в плазме.

  3. Электромагнитные волны

    • В магнитной плазме появляются продольные и поперечные моды.
    • Затухание Ландау зависит от резонансов с электронами или ионами, например циклотронами.

Математическое описание через комплексные частоты

При учёте Ландау-затухания волновое решение принимается в виде:

E(x, t) = E0ei(kx − ωrt)e−γt

где γ выражается через градиент распределения частиц вблизи резонансной скорости:

$$ \gamma = - \frac{\pi \omega_p^3}{2 k^2} \left. \frac{\partial f_0}{\partial v} \right|_{v = \omega_r/k} $$

Особенность: затухание зависит не от коллизионной частоты, а от формы распределения частиц. Даже в идеально бесстолкновительной плазме возникает диссипация энергии.

Влияние на термоядерный синтез

В контексте термоядерного синтеза Ландау-затухание играет ключевую роль:

  • Контроль стабильности плазмы: резонансное затухание может поглощать нежелательные волны и уменьшать турбулентность.
  • Энергетический обмен: волны, возбуждаемые высокоэнергетическими частицами, могут терять энергию на фоне Ландау-затухания, что важно при ускорении и нагреве плазмы.
  • Разработка схем нагрева: в токамаках или стеллараторах используют волновой нагрев через резонансные взаимодействия с электронами и ионами, учитывая затухание Ландау для оптимизации эффективности.

Практические аспекты и экспериментальные наблюдения

  • Экспериментально Ландау-затухание регистрируется через измерение амплитуды плазменных волн.
  • При низкой температуре или высокой плотности плазмы затухание уменьшается, поскольку градиент распределения вблизи фазовой скорости снижается.
  • В лабораторной плазме часто используется лазерное возбуждение плазменных волн, где затухание Ландау определяет характер поглощения энергии лазера плазмой.

Заключение по сути физики процессов

Затухание Ландау — фундаментальный пример коллективного взаимодействия волн и частиц, где классическая диссипация через столкновения не требуется. Понимание этого явления позволяет:

  • Предсказывать стабильность различных мод плазмы.
  • Оценивать эффективность резонансного нагрева.
  • Управлять динамикой волн и энергетическими потоками в термоядерных устройствах.

Ландау-затухание является неотъемлемой частью кинетической теории плазмы и ключевым элементом в моделях волновой динамики для управляемого термоядерного синтеза.

Оглавление