Аномалии и адиабатические накачки

1. Введение в аномалии в топологических системах

Аномалии в физике топологических состояний вещества представляют собой фундаментальные несоответствия между симметриями классической теории и квантовыми эффектами. В контексте топологических материалов аномалии проявляются в нарушении сохранения определённых токов или зарядов при наличии внешних полей или в граничных состояниях.

Ключевой аспект: анализ аномалий позволяет предсказывать существование краевых состояний и нетривиальных токов в объёме материала, которые не могут быть объяснены традиционной локальной теорией Ландау.

Примеры аномалий в топологических системах:

  • Аномалия Халла (Hall anomaly) в двухмерных топологических изоляторах и ферромагнетиках.
  • Хиральная аномалия в Weyl-металах, проявляющаяся в нетривиальном переносе заряда между вершинами Вейля при применении электрического и магнитного полей.
  • Аномалии в спиновых токах, связанные с топологическим спиновым Халлом.

2. Математический формализм аномалий

Аномалии описываются через топологические инварианты и топологические токи. Рассмотрим электрическую аномалию на примере Weyl-метала. В объёме системы с вершинами Вейля возникает ненулевой ток:

$$ \partial_\mu j^\mu = \frac{e^2}{4\pi^2 \hbar^2} \mathbf{E}\cdot \mathbf{B} $$

где jμ — ток, E и B — внешние электрическое и магнитное поля соответственно.

Этот результат напрямую следует из квантового вычисления функции Грина и проявляет несохранение заряда для отдельных хиральных фермионов, что является ключевой характеристикой хиральной аномалии.

Для спиновых токов аналогично вводятся спиновые аномалии, где вместо электрического заряда рассматривается спиновый момент.

3. Адиабатические накачки

Адиабатические накачки представляют собой процесс переноса кванта заряда или спина через систему при циклическом изменении параметров Hamiltonian, при котором система остаётся в основном состоянии. Концепция тесно связана с теоремой Тьюба (Thouless pumping).

Ключевые элементы адиабатического накачивания:

  • Циклическое изменение внешних параметров R(t) с периодом T.
  • Сохранение квазистационарного состояния в течение всего цикла.
  • Топологическая защита переноса, обеспечивающая его квантизированность:

Q = ∫0Tdt I(t) = C e

где C — целое число, связанное с интегралом кручения Бери по циклу параметров, I(t) — ток в системе.

Физическая интерпретация: даже при наличии диссипации или слабых нарушений симметрии, квантизированный перенос сохраняется, так как он определяется топологическим инвариантом (например, числом Черна).

4. Взаимосвязь аномалий и адиабатических накачек

Аномалии и адиабатические накачки тесно связаны через топологическую природу токов. Аномалии часто могут быть интерпретированы как локальное выражение глобального топологического накачивания:

  • В Weyl-металах хиральная аномалия эквивалентна непрерывной адиабатической накачке заряда между хиральными вершинами при наложении E ∥ B.
  • В двухмерных топологических изоляторах перенос заряда вдоль границы может рассматриваться как граница адиабатического цикла в объёме.

Таким образом, формализмы аномалий и адиабатических накачек являются двумя сторонами одной топологической картины: анализ аномалий позволяет предсказывать возможные квантизированные токи, а адиабатические накачки реализуют их физически.

5. Экспериментальные проявления

Weyl-металы:

  • Обнаружение отрицательной магниторезистивности при E ∥ B как прямое следствие хиральной аномалии.
  • Регистрация непрерывного переноса электронов между хиральными точками через адиабатический процесс, индуцируемый внешними полями.

Квантовые точки и одномерные цепочки:

  • Реализация квантизированных адиабатических накачек с использованием оптических решёток и электронных систем.
  • Проверка топологической защиты переноса при слабых возмущениях и диссипации.

Спиновые системы:

  • Адиабатическая накачка спина может проявляться в спиновых цепях и топологических спиновых изоляторах, обеспечивая перенос спинового момента без переноса заряда.

6. Математическая топология и инварианты

Для количественного анализа используются интегралы Бери и числа Черна:

$$ C = \frac{1}{2\pi} \int_{\text{BZ}} \Omega(\mathbf{k}) \, d^2k $$

где Ω(k) — кривизна Бери в зоне Бриллюэна.

Ключевая особенность: все квантизированные адиабатические накачки напрямую связаны с целыми значениями этих топологических чисел, что делает их независимыми от мелких возмущений.

Аномалии, в свою очередь, могут быть представлены через неинтегрируемые плотности топологических токов, локализованные в пространстве и в импульсном пространстве, что позволяет вычислять эффекты аномалий в конкретных материалах.

7. Роль симметрий

Сохранение или нарушение симметрий (хиральной, временной, пространственной инверсии) определяет вид аномалии и возможность квантизированной накачки.

  • Хиральная симметрия: необходима для хиральной аномалии.
  • Симметрия времени: её нарушение позволяет существование ненулевого Халл-тока в адиабатическом цикле.
  • Пространственная инверсия: определяет направление и локализацию краевых токов.

Таким образом, топологические свойства системы и её симметрии напрямую формируют физические проявления аномалий и механизмы адиабатического переноса.

Оглавление