Аномальные флокетовские топологические изоляторы

Флокетовский формализм применяется для описания квантовых систем, находящихся под действием периодически зависящего от времени гамильтониана. Пусть гамильтониан имеет вид

H(t) = H(t + T),

где T = 2π/Ω — период внешнего воздействия с частотой Ω. Решения уравнения Шрёдингера в этом случае можно представить в виде

ψα(t) = e−iεαt ϕα(t),

где ϕα(t) = ϕα(t + T) — периодическая функция, а εα называются квазиэнергиями. Таким образом, задача редуцируется к спектру эффективного оператора Флоке

$$ H_F = H(t) - i\frac{\partial}{\partial t}. $$

Этот подход позволяет классифицировать возможные топологические состояния в системах, управляемых периодическим полем, аналогично классификации статических топологических изоляторов.

Отличие аномальных флокетовских изоляторов от статических топологических изоляторов

В статических системах топологический изолятор характеризуется наличием запрещённой зоны в спектре и топологически защищённых краевых мод внутри щели. Однако в случае флокетовских систем ситуация принципиально меняется. Здесь квазиэнергетический спектр определяется на круге Бриллюэна по энергии, так как εα определяются с точностью до Ω.

Это приводит к возможности существования фаз, в которых bulk-состояния тривиальны, то есть обычные топологические инварианты (например, число Черна или ℤ2-индексы) равны нулю, однако на границах системы возникают устойчивые проводящие состояния. Эти состояния не могут быть объяснены статическими аналогами — именно они и называются аномальными флокетовскими топологическими изоляторами.

Математическое описание и топологические инварианты

Чтобы классифицировать такие фазы, необходимо рассматривать не только спектр эффективного гамильтониана Флоке, но и полный эволюционный оператор за один период

U(T) = ????exp (−i∫0TH(t) dt),

где ???? — оператор хронологического упорядочивания. Именно структура собственных значений и топология матрицы эволюции U(T) определяют наличие аномальной топологической фазы.

Для таких систем вводятся топологические инварианты, зависящие от времени внутри периода, например winding number (число обвития) для унитарного эволюционного оператора. Этот инвариант может быть ненулевым даже в случае, когда статические инварианты равны нулю.

Физические механизмы реализации

Аномальные флокетовские топологические изоляторы могут реализовываться в различных физических системах:

  1. Двумерные электронные системы под действием периодического излучения. Примером служат графеноподобные материалы, облучаемые круговой поляризованной лазерной волной. При определённых параметрах поля возникает фаза, где bulk-спектр тривиален, но по границе протекают токи.

  2. Фотонные кристаллы и волноводные решётки. В этих системах пространственное модулирование структуры эквивалентно временной периодичности. Это позволяет наблюдать краевые состояния света, не предсказанные статической топологией.

  3. Холодные атомы в оптических решётках. Периодическое модулирование потенциала создаёт условия для возникновения эффективных аномальных флокетовских фаз.

Краевые состояния и их устойчивость

Главная особенность аномальных флокетовских топологических изоляторов заключается в существовании устойчивых краевых мод при тривиальном bulk. Эти состояния обладают следующими свойствами:

  • они локализованы на границах образца;
  • их энергия периодически повторяется через квант Ω, то есть они могут находиться как при ε = 0, так и при ε = Ω/2;
  • они топологически защищены от слабых возмущений, сохраняющих периодичность во времени.

Таким образом, спектр таких систем демонстрирует необычную картину: bulk-полосы могут быть полностью топологически тривиальными, но на границе всё равно появляются устойчивые проводящие каналы.

Экспериментальные наблюдения

На практике аномальные флокетовские топологические изоляторы уже были реализованы в ряде экспериментов:

  • В фотонных системах. Волноводные решётки, модулируемые вдоль оси распространения, показали наличие аномальных краевых состояний света.
  • В графене под лазерным облучением. Теоретические расчёты и первые эксперименты демонстрируют возможность возбуждения аномальной фазы при определённых частотах лазера.
  • В ультрахолодных атомных газах. Модулированные оптические решётки позволили наблюдать переходы в аномальные фазы, исследуя распределение атомов в импульсном пространстве.

Значение и перспективы

Аномальные флокетовские топологические изоляторы являются важным примером того, как динамическая периодичность приводит к новым типам топологических состояний, невозможных в статических условиях. Их изучение открывает перспективы для:

  • создания новых платформ для топологической квантовой обработки информации;
  • разработки фотонных и электронных устройств с управляемыми краевыми каналами;
  • более глубокого понимания универсальных принципов топологии в квантовых системах вне равновесия.
Оглавление