Дифференциальная геометрия играет ключевую роль в описании топологических состояний вещества, поскольку она позволяет формализовать свойства фаз через гладкие многообразия и связанные с ними векторные расслоения. Основные объекты изучения здесь — многообразия конфигураций и волновых функций, а также векторные расслоения, задающие поведение квантовых состояний при изменении параметров системы.
Многообразие M представляет собой гладкое множество точек, каждая из которых имеет локальную окрестность, диффеоморфную ℝn. Локальные координаты (x1, x2, …, xn) позволяют определять гладкие функции и векторные поля на M. Для топологических состояний важна структура параметрического пространства гамильтониана H(k), где k — вектор квазимомента. Часто рассматриваются торические многообразия Td, соответствующие периодическим кристаллическим решеткам.
Тангенциальное расслоение TM состоит из всех касательных векторов к многообразию в каждой точке. Котангенциальное расслоение T*M формирует пространство дифференциалов функций на M. В квантовой механике топологических фаз элементы T*M напрямую связаны с формами, задающими калибровочные поля, такие как Berry connection.
Дифференциальные формы ω ∈ Λp(M) используются для определения локальных свойств поля и его интегральных инвариантов. В частности, 2-форма Фари-Фубини (Berry curvature) определяется через внешнюю производную связи:
F = dA,
где A — 1-форма связи Berry. Интеграл 2-формы по замкнутой поверхности в зоне Бриллюэна даёт топологический инвариант, например, число Черна:
$$ C = \frac{1}{2\pi} \int_{BZ} F. $$
Калибровочные поля в квантовой механике возникают как соединения на векторных расслоениях. Для собственного состояния |un(k)⟩ гамильтониана H(k) вводится Berry connection:
An(k) = i⟨un(k)|∇kun(k)⟩,
которая выступает как локальная калибровочная 1-форма. Её крутность Fn(k) = ∇k × An(k) формирует Berry curvature, играющую роль “поля силы” на пространстве параметров.
Числа Черна и другие инварианты определяются интегралами форм Berry по замкнутым подмногообразиям в зоне Бриллюэна. В двумерных системах:
$$ C_n = \frac{1}{2\pi} \int_{BZ} F_n(k) \, d^2k, $$
где Cn ∈ ℤ — целое число, отражающее топологический характер полосы энергии n. Эти инварианты защищают устойчивые края и дискретные квантовые эффекты, такие как квантовая аномалия Холла.
Топологические состояния описываются не только локальными гамильтонианами, но и глобальной структурой расслоений. Калибровочные аномалии возникают, когда глобальная структура векторного расслоения несовместима с локальной тривиальностью. Примеры включают аномалии Холла, а также эффекты в трехмерных топологических изоляторах и Weyl-полях.
Характеристические классы (Chern, Pontryagin) позволяют классифицировать векторные расслоения по их топологическим свойствам. Chern-классы вычисляются через кривизну соединения F:
$$ c_1(E) = \frac{i}{2\pi} \text{Tr } F. $$
Высшие Chern-классы аналогично описывают многомерные системы и играют ключевую роль в многополосных топологических фазах.
В квантовых системах Chern-классы связаны с интегралами кривизны Berry и определяют топологические характеристики, такие как устойчивость краевых состояний. Для многомерных топологических изоляторов применяются обобщения Chern-Simons теории, которые описывают взаимодействие калибровочных полей и поверхностных эффектов.
Топологические фазы могут быть интерпретированы через не тривиальные векторные расслоения над зоной Бриллюэна. Состояние системы задается секциями расслоения, а устойчивость фаз при малых возмущениях обеспечивается их топологической неизменностью. Нарушение симметрий может изменить тип расслоения и привести к фазовому переходу между топологически различными состояниями.
Эти подходы обеспечивают точное и наглядное описание топологических фаз, связывая абстрактную геометрию с наблюдаемыми физическими эффектами.