Дираковские массовые термы и переходы

В теории твёрдого тела и топологических фаз важнейшую роль играет описание низкоэнергетических возбуждений через эффективные гамильтонианы типа уравнения Дирака. В трёхмерных и двумерных системах такие гамильтонианы позволяют компактно зафиксировать структуру энергетического спектра вблизи критических точек и классифицировать фазы вещества по топологическим инвариантам. Особое значение имеют массовые термы в уравнении Дирака, так как именно они определяют, будет ли система находиться в тривиальной или топологической фазе.

Общая форма гамильтониана Дирака

В простейшей двухкомпонентной форме гамильтониан Дирака для квазичастиц в конденсированном состоянии можно записать как

H(k) = v (k_xσ_x + k_yσ_y) + mσ_z,

где v — скорость Дирака, σ_i — матрицы Паули, k — квазимомент, а параметр m играет роль массового терма. При m = 0 спектр системы описывается как линейная дисперсия, формируя два конуса Дирака. Если же m ≠ 0, возникает энергетическая щель величиной 2|m|.

Таким образом, массовый терм управляет открытием или закрытием щели в спектре и является ключевым параметром при переходах между топологическими и тривиальными фазами.

Физическая интерпретация массового терма

Массовый терм может иметь различную физическую природу в зависимости от рассматриваемой системы:

В спин-орбитально связанных системах он соответствует величине, определяемой инверсией зон при сильной спин-орбитальной связи.
В теории поля массовый терм связан с нарушением симметрии и выбором конкретного вакуума.
В графене эффективный массовый терм может возникать при нарушении подрешёточной симметрии.
В Вейлевских и дираковских полуметаллах введение массового терма соответствует слиянию узлов Вейля и открытию щели.

Таким образом, знак и величина m напрямую определяют топологический характер состояния.

Изменение знака массового терма и топологические переходы

Ключевым аспектом является то, что смена знака массового терма приводит к топологическому фазовому переходу.

При m > 0 система может находиться в тривиальной фазе, где инвариант Черна или ℤ₂-инвариант равен нулю.
При m < 0 возникает топологическая фаза с нетривиальным значением инварианта, что приводит к появлению защищённых краевых состояний.
В точке m = 0 происходит критическое состояние: щель исчезает, и система описывается как дираковский полуметалл.

Такое поведение иллюстрирует универсальность дираковского описания в задаче о топологических переходах: именно изменение знака массы играет роль “маркировки” различных фаз.

Симметрии и типы массовых термов

Массовые термы можно классифицировать по их симметрийным свойствам:

Термы, сохраняющие инверсионную симметрию, но нарушающие симметрию времени.
Термы, сохраняющие симметрию времени, но нарушающие инверсию.
Смешанные термы, связанные с более сложными комбинациями нарушений симметрий.

Выбор массового терма зависит от микроскопической природы материала. Например, в двумерном топологическом изоляторе типа модели Б. Б. Кане и Ф. Меле массовый терм задаётся спин-орбитальным взаимодействием, тогда как в модели Халдейна он обусловлен нарушением симметрии времени.

Массовые термы в (2+1)- и (3+1)-мерных теориях

В двумерных системах дираковский гамильтониан с массовым термом описывает переходы между тривиальными изоляторами и топологическими изоляторами с краевыми состояниями, аналогичными модам в эффекте Кванта Холла.

В трёхмерных системах ситуация усложняется. Здесь массовые термы играют роль в формировании:

3D-топологических изоляторов, где возникает поверхность с дираковскими состояниями;
Вейлевских полуметаллов, где щель закрыта, но узлы Вейля устойчивы;
Дираковских полуметаллов, где массовый терм может переводить систему в щелевой изолятор.

Критические свойства при переходах

Когда массовый терм проходит через ноль, система оказывается в точке квантового фазового перехода.

Спектр становится безщелевым, и корреляционные длины расходятся.
В критической точке формируются масштабные законы, описывающие универсальное поведение.
Появляется чувствительность к возмущениям, способным сместить систему в ту или иную фазу.

Таким образом, нулевая масса соответствует квантовой критической точке, разделяющей топологически различные состояния.

Связь с наблюдаемыми эффектами

Изменение массового терма в реальных материалах можно наблюдать экспериментально через:

открытие или закрытие щели в спектре (спектроскопия ARPES),
изменение транспортных свойств, например, появление краевых или поверхностных токов,
переходы в аномальном эффекте Холла, связанных со знаком массы.

Таким образом, дираковские массовые термы не являются лишь теоретической абстракцией, но напрямую связаны с наблюдаемыми квантовыми явлениями в топологических материалах.