Дираковские точки в трех измерениях

Основные понятия

Дираковские точки в трехмерных кристаллах представляют собой особые точки в зоне Бриллюэна, где пересекаются энергетические полосы с линейной дисперсией в окрестности точки пересечения. Такие точки называют трехмерными дираковскими точками, и они являются обобщением двухмерных дираковских точек, известных по графену. В трех измерениях дираковская точка характеризуется четырьмя компонентами волновой функции электрона, что отражает наличие двух спиновых степеней свободы и двух подрешеточных состояний (сублатисов).

Ключевой особенностью дираковских точек является то, что низкоэнергетические квазичастицы в их окрестности описываются трехмерным уравнением Дирака:

H(k) = ∑_{i = x, y, z}v_ik_iα_i + mβ,

где v_i — скорости Ферми вдоль осей, α_i и β — матрицы Дирака, m — масса, которая может обнуляться при наличии симметрий, обеспечивающих дираковскую точку.

Симметрии и устойчивость дираковских точек

Трехмерные дираковские точки являются точками высокой симметрии в зоне Бриллюэна и устойчивы только при сохранении определенных симметрий. В частности, для их стабилизации важны:

Инверсная симметрия (P): обмен позиций атомов относительно центра кристалла.
Временная симметрия (T): преобразование, изменяющее знак импульса и спина.

Если одновременно соблюдаются P и T, дираковская точка может оставаться нетронутой при слабых возмущениях. Нарушение одной из этих симметрий приводит к расщеплению дираковской точки на пару Вейловских точек с противоположными топологическими зарядами.

Линейная дисперсия и масса

Вблизи дираковской точки спектр определяется линейной дисперсией:

$$ E(\mathbf{k}) = \pm \sqrt{\sum_{i} (v_i k_i)^2 + m^2}. $$

Если m = 0, получаем безмассовые дираковские фермионы с линейным энергетическим спектром, аналогичные релятивистским частицам. Наличие массы m ≠ 0 открывает энергетическую щель, превращая дираковскую точку в изолированное состояние с энергетической щелью, что соответствует переходу к топологическому или обычному изолятору.

Топологические свойства

Трехмерные дираковские точки обладают выраженной топологической структурой. Вейловский фермион, возникающий при расщеплении дираковской точки, является источником монопольного поля Берри в импульсном пространстве. Интеграл поля Берри по поверхности, окружающей точку:

$$ C = \frac{1}{2\pi} \oint_S \mathbf{\Omega} \cdot d\mathbf{S} $$

дает топологический заряд, равный ±1 для Вейловских точек. Дираковская точка сама по себе является суперпозицией двух Вейловских точек с противоположными зарядами, и общий топологический заряд равен нулю.

Это топологическое различие определяет характерные краевые состояния, которые могут возникать на границах кристалла. В частности, при расщеплении дираковской точки появляются Ферми-дужки, соединяющие проекции Вейловских точек на поверхности Бриллюэна.

Реализации в материалах

Трехмерные дираковские точки наблюдаются в различных классах материалов:

Дираковские полуметаллы, такие как Na₃Bi и Cd₃As₂, где линейная дисперсия распространяется в трех направлениях.
Топологические изоляторы с защитой симметрии, где дираковская точка появляется на поверхности кристалла.
Полупроводники с узкой щелью, где пересечение кондукционной и валентной полос создает точку дирака в зоне Бриллюэна.

Характерной особенностью этих материалов является высокая подвижность электронов и необычные магнитные свойства, обусловленные топологической природой дираковских фермионов.

Эффекты возмущений и внешних полей

Применение магнитного поля или взаимодействие с кристаллической деформацией может привести к нескольким важным эффектам:

Разделение дираковской точки на Вейловские точки, создавая ферми-дужки на поверхности.
Анизотропия скорости Ферми, что отражается на оптических и транспортных свойствах материала.
Открытие массы и щели, приводящее к переходу в топологический изолятор или обыкновенный изолятор.

Особый интерес представляет поведение при сильных взаимодействиях между электронами, когда возможны новые фазовые состояния, включая топологические спиновые жидкости и экзотические полупроводниковые состояния.

Транспортные свойства

Электронные квазичастицы около дираковских точек проявляют необычные транспортные явления:

Аномальный эффект Холла, особенно в случае расщепленных Вейловских точек.
Нелинейная оптика, вызванная топологической зарядкой точек.
Высокая электронная подвижность, из-за линейной дисперсии и отсутствия рассеяния вблизи дираковской точки.

Эти свойства делают материалы с дираковскими точками перспективными для применения в высокоскоростной электронике, фотонике и квантовых технологиях.

Заключение по структурной роли

Дираковские точки в трех измерениях представляют собой фундаментальный элемент топологической классификации материалов. Их устойчивость определяется симметриями кристалла, а топологическая природа задает краевые состояния и специфические транспортные эффекты. Расщепление на Вейловские точки и открытие массы позволяют контролировать свойства материала внешними полями, создавая широкие возможности для экспериментального исследования и практического применения.

Эта комбинация топологической защиты, линейной дисперсии и возможности манипулировать состоянием делает дираковские точки ключевым объектом изучения в современной физике конденсированного состояния.